§ 13. Потоки с ограниченным последействием

Если данный поток — без последействия, то величины очевидно, взаимно независимы. Однако обратное заключение, как мы узнаем в дальнейшем, было бы неверным. Взаимная независимость величин в значительной степени ограничивает явление последействия, но не исключает его полностью. В части II мы узнаем, что как раз потоки с взаимно независимыми но с наличием последействия играют важнейшую роль в теории обслуживания вызовов полнодоступным пучком линий. Мы должны поэтому заняться теперь установлением некоторых основных свойств таких потоков.

Условимся (следуя Пальму) называть потоком с ограниченным последействием всякий поток, у которого есть последовательность взаимно независимых случайных величин. Очевидно, для однозначного описания такого потока достаточно задать законы распределения всех величин Мы будем в дальнейшем обозначать эти законы через

Мы знаем, что если данный поток — стационарный и ординарный, то полное отсутствие последействия влечет за собой простейший характер потока, подробно изученный нами

в главе 1. Поэтому стационарный и ординарный поток с ограниченным последействием мы можем рассматривать как некоторое обобщение простейшего потока. Именно такого рода потоки представляют значительный интерес для теории обслуживания в случае систем с потерями (см. далее гл. 8). Стационарный ординарный поток с ограниченным последействием мы будем для краткости называть потоком типа (или потоком Пальма).

В § 9 мы ввели для любого стационарного потока систему «функций Пальма» Функция как мы теперь увидим, играет основную роль в теории потоков типа Заданием этой функции поток типа однозначно определяется. В самом деле, так как в случае потока типа величины между собою независимы, то для однозначного определения закона распределения каждого вектора а значит, и для однозначного описания потока достаточно задать законы распределения величин Но эти законы однозначно определяются заданием функции Пальма как показывает следующее предложение.

Теорема. Для потока типа

Для лучшей обозримости мы разобьем доказательство на несколько этапов.

1. Так как есть вероятность наличия вызовов в промежутке следовательно, в наших старых обозначениях равна

то утверждаемое выражение для непосредственно вытекает из формулы (10.7) при при этом параметр К

данного потока определяется через функцию с помощью соотношения

Нам остается, таким образом, рассмотреть случай 1. 2. Положим, как в § 8,

Тогда имеет место

Лемма. (См. примечание на стр. 68 - Б. Г.) Для любого потока типа и любого

Доказательство. Обозначая через момент вызова и полагая, как прежде, мы очевидно имеем

и следовательно, в силу независимости от

Для доказательства леммы достаточно поэтому убедиться что при

Пусть столь велико, что Пусть произвольно мало и таково, что Условимся называть «ячейками» отрезки Если то моменты лежат либо в одной ячейке, либо в двух соседних ячейках, так что по меньшей мере одни из отрезков

длины содержит более одного вызова. Поэтому

откуда при

при в силу ординарности данного потока. Этим завершено доказательство нашей леммы.

3. Переходя теперь к доказательству теоремы, убедимся прежде всего, что . С этой целью рассмотрим введенную нами в главе 3 вероятность того, что в некотором промежутке длины вызовы имеются, а в последующем за ним промежутке длины вызовов нет. Если число вызовов в промежутке равно то из отсутствия вызовов в промежутке следует вероятность чего есть поэтому

С другой стороны, при том же условии вызовов в промежутке из следует, что в промежутке вызовов нет, поэтому

Таким образом,

Деля все части этих неравенств на и замечая, что при

мы в пределе находим

откуда во всех точках непрерывности закона распределения

4. Теперь мы с помощью индукции убедимся, что Для всех

В силу стационарности данного потока закон распределения расстояния между двумя первыми вызовами, следующими за каким-либо моментом совпадает с законом распределения расстояния между первыми двумя вызовами, следующими за моментом 0. Но если в промежутке имеется вызовов, то расстояние между первыми двумя вы.

зовами, следующими за моментом в, есть и закон распределения его, равный не зависит от предшествующего течения потока. Таким образом,

Пусть теперь уже установлено, что

Тогда (13.1) дает

Так как последняя сумма правой части не превосходит

то мы получаем

Это неравенство имеет место при любых но при правая часть по доказанной лемме стремится к нулю; а так как левая часть от а не зависит, то при любом

что и требовалось доказать.