§ 2. Элементарное решение

Разобьем промежуток времени на произвольное число равных промежутков длины Вероятность того, что в какой-либо из этих частей не произойдет ни одного вызова, равна а так как наш поток — без последействия, то

или, полагая

Если мы имеем промежуток длины то он разбивается на промежутков длины вследствие чего

Пусть, наконец, любое положительное число и пусть натуральное число определяется из неравенств

так как очевидно, есть невозрастающая функция от то

или, в силу (2.1),

но при имеем вследствие чего крайние члены написанных неравенств стремятся к и мы находим

для любого При этом постоянное число 0 нами определено как и следовательно, Однако случаи не представляют интереса, и мы можем их не рассматривать. В самом деле, при мы имеем при любом что означает достоверное отсутствие вызовов в любом промежутке времени, т. е. отсутствие какого бы то ни было потока. Если же то при любом это означает, что вызовы с достовгрностью будут получены в любом, сколь угодно малом промежутке времени; но тогда, сколь бы велико ни было число вызовов в любом промежутке с достоверностью будет больше, чем другими словами, число вызовов в любом промежутке бесконечно с вероятностью 1; но такие потоки мы в § 1 раз навсегда исключили из рассмотрения. Итак, мы можем считать, что поэтому можно положить где — постоянное положительное число, и писать

Отметим, что при этом выводе мы нигде не пользовались ординарностью нашего потока, так что соотношение (2.2) имеет силу для любого стационарного потока без последействия; это замечание будет для нас важно в дальнейшем.

Теперь обращаемся к отысканию функций при Существует много различных способов решения этой задачи, и почти все они поучительны, так как заложенные в них методы позволяют решать и ряд более сложных задач. Мы начнем с наиболее элементарного способа. Будем считать постоянным и разобьем промежуток на произвольное число равных частей (ячеек) длины Относительно расположения вызовов в этих ячейках возможны две гипотезы:

ни в одной из ячеек не будет более одного вызова;

по крайней мере в одной из ячеек произойдет более одного вызова.

Мы, очевидно, имеем

где означает вероятность двойного события: 1) реализуется гипотеза и 2) в промежутке поступает вызовов. Очевидно, что есть вероятно такого положения вещей, когда из нашчх ячеек какие-либо содержат по одному вызову, а остальные вообще вызовов не содержат, поэтому

В силу формулы (2.2) и ординарности данного потока мы имеем при и постоянном

и, следовательно,

при

С другой стороны, очевидно, не превосходит вероятности гипотезы т. е. того, что по меньшей мере одна из ячеек содержит более одного вызова; так как для отдельной ячейки вэроятность содержать более одного вызова есть то поэтому

таким образом, правая часть равенства (2.3) при имеет пределом

а так как левая часть (2.3) от не зависит, то

Таким образом, для простейшзго потока число вызовов в промежутке длины распределено по закону Пуассона с параметром