§ 20. Уравнения и формулы Эрланга

Теперь мы переходим к ставшему классическим методу Эрлаига определения величин существование которых нами только что доказано. В отличие от предыдущего параграфа, мы будем при этом иметь в виду исключительно наш конкретный процесс

Во всем дальнейшем нам придется иметь дело с промежутком времени бесконечно малой длины Условимся для краткости обозначать через всякую бесконечно малую порядка выше и соединять знаком всякие две величины, разность которых есть величина вида

Согласно принятым нами в § 18 предпосылкам вероятность поступления по меньшей мере одного вызова за промежуток времени есть величина а вероятность поступления более одного вызова — величина вида . С другой стороны, если какая-либо линия в данный момент занята, то вероятность оставаться занятой еще в течение секунд (или более) для нее равна если занято линий, то вероятность того, что все они останутся занятыми в течение промежутка времени равна поэтому вероятность же того, что в течение промежутка времени по меньшей мере одна из этих линий освободится, равна

Поступление вызовов и освобождение линий представляют собой элементарные события, в моменты которых скачкообразно меняется величина Из того, что мы до сих пор установили для вероятностей таких элементарных событий, с очевидностью следует, что вероятность наступления в промежутке длины по меньшей мере одного элементарного события (того или другого типа) при асимптотически пропорциональна вероятность же наступления в промежутке длины двух или более элементарных событий (все равно, каких типов) есть величина вида в (или, что то

Эти замечания позволяют легко найти асимптотические выражения переходных вероятностей при Прежде всего, если то переход из состояния I в состояние требует, очевидно, наступления по меньшей мере двух элементарных событий; поэтому в силу вышесказанного при

Далее, для перехода из состояния в состояние требуется либо наступление одного вызова, либо наступление более чем одного элементарного события; поэтому в силу вышесказанного при

Чтобы система перешла из состояния в состояние требуется либо освобождение одной линий, либо наступление более чем одного элементарного события; так как вероятность освобождения одной из занятых линий за время при как мы видели выше, то мы находим

Наконец, в силу (20.1) мы имеем при

где при второй, а при третий член правой части надо заменить нулем; это дает

Таким образом, для всех вероятностей нами установлены очень простые асимптотические выражения с точностью до величины вида

Теперь мы обратимся к уравнению (18.3), в силу которого при любом постоянном

применяя к вероятностям в правой части этого равенства найденные нами асимптотические оценки, мы находим

Отсюда

Есля мы заставим теперь стремиться к нулю (сохраняя постоянным), то убеждаемся в существовании производных всех функций и находим в пределе

Система уравнений неизвестными функциями называется системой Эрла Так как все уравнения этой системы однородны, то искомые функции содержат произвольный постоянный множитель, который может быть определен из очевидного «нормировочного» условия

Как мы уже говориля, нам пет надобности искать решения системы дифференциальных уравнений . В § 19 мы

доказали, что для любого существует предел

Отсюда следует, что правые части всех уравнений при имеют пределы. Переходя к левым частям, мы видим, что все производные при стремятся к пределам; но такой предел может быть только нулем, так как, если бы какое-нибудь стремилось к числу, отличному от нуля, соответствующее возрастало бы безгранично, что (независимо от реального смысла величин как вероятностей) невозможно уже в силу теоремы Маркова. Таким образом, мы приходим к выводу, что

вследствие чего система в пределе при дает

Эта простая система линейных уравнений вместе с нормировочным условием может служить для однозначного определения искомых чисел

Если положить

система (20.2) может быть записана в виде

откуда это же дает

и, следовательно,

Применяя нормировочное условие, находим

и, слел лзатсльно,

Формулы (20.3), называемые обычно формулами Эрланга, полностью решают поставленную нами задачу. В частности, вероятность «потери» дается формулой

Полезно отметить, насколько решающую роль во всем проведенном исследовании играла предпосылка о показательном распределении длительности разговоров; только при этом допущении процесс становится процессом Маркова; при отказе от этого допущения все развитые нами в § 19 и 20 методы становятся принципиально неприменимыми. В специальной литературе имеется целый ряд попыток доказать, что формулы Эрланга остаются в силе и при любом другом распределении длительности разговоров. Однако, насколько мы видим, эти попытки не привели до сих пор к сколько-нибудь законченным результатам.