§ 32. Разложение функций ... на простые дроби

Чтобы определить функции лапласовскнми преобразованиями которых служат функции мы должны теперь посмотреть, как рациональные функции разлагаются на простые дроби, и с этой целью исследовать корни многочленов служащих знаменателями этих рациональных функций.

Многочлен степени имеет, как непосредственно видно из его определения, положительные коэффициенты, причем коэффициент при равен 1. Отсюда уже следует, что все вещественные кории этого многочлена отрицательны и что он может быть представлен в виде:

где числа положительны или мнимы. Мы утверждаем, что числа все положительны и что, если они расположены в порядке возрастания, то

т. е. расстояние между двумя соседними корнями превосходит единицу.

Докажем это утверждение посредством индукции. Мы уже внделн, что так что для наше утверждение верно. Допустим, что оно верно для и покажем, что в таком случае оно справедливо и для

Для этого мы воспользуемся рекуррентной формулой (31.1), в силу которой

при этом в силу нашего предположения все Эта формула (как, впрочем, и непосредственное определение) показывает, что . С другой стороны, она дает

Это показывает, что имеет корень между 0 и Пусть теперь одно из чисел ряда Тогда

имеет, как легко подсчитать, отрицательных множителей и, следовательно, знак напротив

имеет отрицательных множителей и, следовательно, знак Таким образом, многочлен для любого имеет корень в промежутке между — Наконец, так как старший член многочлена есть то при отрицательных достаточно больших по абсолютной величине, имеет знак в то же время в выражении

все скобки отрицательны, так что оно имеет знак Это показывает, что имеет корень между

Сопоставляя все полученное, мы видим, что многочлен имеет по меньшей мере по одному корню в каждом из промежутков:

которые попарно не имеют общих точек. Так как есть многочлен степени то этим его корни исчерпаны; а так как рассмотренные нами промежутков таковы, что расстояние между двумя соседними из них равно единице, то расстояние между двумя соседними корнями многочлена всегда превосходит единицу. Таким образом, наше утверждение о расположении корней многочленов полиостью доказано.

Из этого следует, что разложение функции на простые дроби имеет вид:

где числители легко могут быть выражены через числа хорошо известными методами.