Глава 8. ЗАДАЧА ПАЛЬМА

§ 26. Постановка задачи

Для решения задачи Эрланга в гл. 6 и 7 нам было безразлично, рассматривается ли данный пучок линий как упорядоченный или нет. В настоящей главе, напротив, мы будем иметь дело с задачей, которая имеет смысл лишь для упорядоченного пучка. Мы будем, таким образом, все время исходить из предположения, что линии данного пучка перенумерованы и что каждый поступающий вызов занимает линию с наименьшим номером из числа тех, которые свободны в момент его поступления. Очевидно, что при таком порядке

средняя загруженность будет различной для различных линий: наиболее загруженной окажется первая линия-, за ней вторая, и т. д.

С другой стороны, задачи, рассматриваемые в настоящей главе, таковы, что уже по смыслу их постановки безразлично, имеем ли мы дело с конечным или бесконечным пучком; таким образом, это различение, столь важное, как мы видели, для задачи Эрланга, для целей настоящей главы совершенно несущественно.

Во всем остальном мы сохраняем предпосылки предшествующих глав. Входящий поток вызовов мы предполагаем простейшим с параметром Я. Длительности разговоров предполагаются не зависящими ни друг от друга, ни от каких-либо данных о поступлении вызовов и распределенными по показательному закону со средним значением 1.

Условимся обозначать через линию с номером Для всёх рассуждений настоящей главы имеет основное значение тот простой и самоочевидный факт, что совокупность линий (при любом не превосходящем общего числа линий пучка) мы можем рассматривать как самостоятельный полнодоступный пучок. Каждый вызоз, «потерянный» на этом пучке (т. е. заставший первые линий занятыми), поступает на линию (если, конечно, таковая имеется), и обратно — для того, чтобы вызов поступил на необходимо, чтобы он был потерян на пучке Вероятность потери на этом пучке есть доля времени, в течение которой все линии заняты; она, очевидно, совершенно не зависит от того, существуют ли еще лнини с более высокими номерами и сколько таких линий; она может быть вычислена по формуле Эрланга для вероятности потери на пучке из линий и равна

В частности, при мы получаем для вероятности потери вызова на линии выражение

а при для вероятности потери на пучке выражение

Но потерю вызова на пучке мы можем рассматривать как двойное событие: 1) потеря на и 2) потеря на Вероятность первого из этих событий равна . Чтобы найти условную вероятность второго события при условии, что первое состоялось, заметим, что это есть вероятность потери на для вызова, потерянного на (или, что то же, поступившего на Если обозначить через интенсивность потока вызовов, поступающих на то искомая условная вероятность второго события будет поэтому по формуле (26.1) равна (так как для этого потока служит первой линией). Но А есть число вызовов, теряющихся на I, в единицу времени; так как поступает на в единицу времени А вызовов, а доля потерь составляет то

и искомая условная вероятность второго события равна

Для вероятности потери на пучке мы таким образом получаем выражение

отличное от непосредственно даваемого формулами Эрланга выражения (26.2). Следовательно, формула (26.3) для вероятности потери на пучке является ошибочной. Анализируя цепь рассуждений, приведших нас к этой формуле, мы легко находим источник ошибки. Обозначив через V интенсивность потока вызовов, поступающих на мы

приняли, следуя формуле Эрланга (26.1), вероятность потери на для поступающего на эту линию вызова равной тем самым мы неявно допустили, что поток вызовов, поступающих на является простейшим, так как формулы Эрланга установлены нами лишь в этом предположении. То, что мы пришли к неверному результату, доказывает, что это предположение было ошибочным. Мы можем, таким образом, считать установленным, что поток вызовов, поступающих на (или, что то же, теряемых на ), не есть простейший поток. Тем более, конечно, у нас нет оснований ожидать, чтобы простейшими оказались потоки вызовов, поступающих на Это отрицательного характера вывод поучителен тем, что ясно показывает, насколько важно уже для решения самых элементарных задач не ограничиваться изучением одних только простейших поступающих потоков.

Детальное, до конца идущее исследование природы потока вызовов, поступающих на любую линию данного упорядоченного полнодоступного пучка, представляет собой теоретически интересную и практически важную задачу, решению которой и будет посвящена настоящая глава. Все основные результаты в этом направлении были получены Пальмом [8] в 1943 г.