ТЕОРИЯ СПАРЕННЫХ АППАРАТОВ

§ 1. Постановка задачи и предварительные замечания

В настоящей работе исследуется вопрос о числе потерь и времени ожидания в случае двух абонентов, пользующихся одним и тем же проводом. Для простоты предполагаем, что все разговоры имеют одинаковую длительность, которую мы будем обозначать через (единица времени произвольна, мы будем условно называть ее часом). Это допущение может быть, конечно, оправдано лишь в самом грубом приближении, так как, по-видимому, дисперсия длительности разговоров может оказывать довольно существенное влняине на интересующие нас величины; однако развиваемый нами метод позволяет принципиально решить все поставленные вопросы и в случае любого закона распределения длительности разговоров; различие заключается лишь в том, что в случае переменной длительности расчеты становятся значительно сложнее; только по этой причине мы принимаем в настоящем исследовании (основная цель которого — выработка метода) длительность всех разговоров одинаковой. Далее, пусть каждый из двух абонентов в течение часа производит вызовов и сам получает вызовов (мы допускаем, таким образом, что эти числа для обоих абонентов одинаковы: если бы они были различны, это вызвало бы в дальнейших расчетах лишь самые незначительные усложнения). Величинами и исчерпываются данные задачи: все остальные числа, с которыми мы будем встречаться, должны быть через них выражены.

Мы допускаем, что в случае, когда вызов поступает в момент занятости провода, вызывающий (абонент или посторонний) ожидает его освобождения, после чего приступает к разговору; мы допускаем далее, что в случае скопления нескольких вызовов они обслуживаются проводом в порядке очереди; это последнее допущение, по-видимому, не оказывает никакого влияния на число потерь и среднее время ожидания и потому может быть сделано без всяких оговорок.

Если в момент один из абонентов свободен, то вероятность того, что он произведет вызов до наступления момента с точностью до малых высших порядков равна где постоянная, которая в дальнейшем должна быть определена из данных нашей задачи. Отсюда, как известно, следует, что если абонент в данный момент свободен, то вероятность того, что он не произведет вызова в течение конечного промежутка времени равна

Что касается вызовов, возникающих извне, то мы, как обычно, предполагаем их режим совершенно независимым от имеющегося в данный момент состояния скученности. Как известно, это имеет своим следствием так называемый закон Пуассона: вероятность появления вызовов в течение промежутка времени выражается формулой

Здесь означает (среднее) число внешних вызовов в единицу времени и, следовательно,

Нам важно иметь Удобное обозначение для состояния скученности в данный момент; условимся обозначать через а ожидающего абонента и через ожидающий внешний вызов; запись еаее будет означать, что в данный момент имеется четверо ожидающих, причем первым в очереди стоит внешний вызов, вторым — абонент, а затем — еще два внешних вызова.

Нам надо также иметь обозначение для вероятности того, что в течение данного разговора, в начале которого скученность известна, произойдут те или другие определенные вызовы; так как на число этих вызовов может оказать влияние только наличие или отсутствие в начале разговора ожидающего абонента и так как более одного ожидающего абонента, очевидно, быть не может, то все разговоры мы

должны разделить на два класса: 1) те, в начале которых нет ожидающего абонента, и 2) те, в начале которых имеется одни ожидающий абонент; эти два класса мы будем различать соответственно верхними индексами 0 и 1; мы введем следующие обозначения:

вероятность того, что в течение разговора первого класса не поступит ни одного вызова;

вероятность того, что в течение разговора первого класса поступит один вызов абонента (и ни одного внешнего вызова);

вероятность того, что в течение разговора первого

класса поступит один вызов внешний;

вероятность того, что в течение разговора первого класса поступит сначала вызов абонента, а затем — внешний;

вероятность того, что в течение разговоров первого класса поступят те же вызовы в обратном порядке, и т. д.;

— вероятность того, что в течение разговора второго класса не поступит ни одного вызова;

вероятность того, что в течение разговора второго класса поступит один внешинй вызов;

вероятность того, что в течение разговора второго класса поступит два внешних вызова, и т. д.

Очевидно, что в течение разговора второго класса абонент вызывать не может). Все эти величины легко выражаются через данные нашей задачи и через величину (которую, уже замечено, мы впоследствии также выразим через эти данные). В самом деле, полагая для краткости

мы, очевидно, будем иметь:

Несколько сложнее выражаются такие вероятности, как однако и этот расчет не вызывает существенных затруднений. Вероятность того, что в течение данного разговора произойдет один вызов, и притом как раз в элементарный промежуток времени между (считая от начала разговора), равна, очевидно, вероятность того, что абонент, свободный в начале разговора, не произведет вызова до момента но произведет его в промежутке между и равна

так что

аналогично легко находим:

Подобным образом могут быть вычислены и более сложные вероятности того же типа.

Наконец, мы переходим к обозначению величии, являющихся основным предметом нашего исследования. Обозначим через , относительное число разговоров, начинающихся без ожидания, или — что то же — относительное число вызовов, застающих провод свободным. Относительное число потерь (точнее — задержанных вызовов) равно тогда таким образом, определение величины естественно, является основной задачей нашего исследования.

Обозначим далее через относительное число таких разговоров, перед началом которых ожидающим является один абонент; через относительное число таких разговоров, перед началом которых ожидающим является один внешний вызов; в обоих случаях непосредственно после начала данного разговора ожидающих не имеется. Вообще, через паее" мы будем обозначать относительное число таких разговоров, непосредствеиио перед началом которых скученность

характеризуется схемой в момент начала такого разговора первый охлаждающий выбывает очереди, и следовательно, непосредственно после начала разговора скученность определяется схемой ее...

§ 2. Основная система уравнений

Как уже сказано, нашей основной целью является определение величины Однако, как и во всех подобного рода задачах, эту величину удается определить лишь из системы линейных уравнений, в которую наряду с в качестве неизвестных входят все величины: яаее, т. е. из системы бесконечного числа линейных уравнений с бесконечным числом неизвестных. К составлению этой системы мы теперь и переходим.

Для того чтобы некоторый разговор начался без предварительного ожидания (вероятность необходимо и достаточно, чтобы 1) в начале предыдущего разговора не было ни одного ожидающего (вероятность и 2) в течение этого предыдущего разговора не поступило одного вызова (вероятность поэтому, полагая для краткости

мы будем иметь:

это — первое уравнение нашей системы.

Далее, для того чтобы некоторый разговор начался в момент, когда скученность характеризуется схемой а (вероятность необходимо и достаточно выполнение одной следующих двух предпосылок — либо предшествующий разговор вначале протекает без ожидающих (вероятность и 2) в течение этого разговора происходит один вызов от абонента (вероятность либо 11: 1) предшествующий разговор вначале протекает при одном ожидающем абоненте (вероятность и 2) в течение этого разговора никаких вызовов не происходит; отсюда

Это — второе уравнение нашей системы.

Совершенно аналогичными рассуждениями мы получаем и дальнейшие уравнения нашей системы; вот несколько из них:

Прежде всего заметим, что искомая величина во все уравнения, кроме первого, входит только в комбинации поэтому целесообразно ввести в качестве новой неизвестной вместо ; при этом мы сначала выбросим первое уравнение нашей системы, поставив своей основной целью определение когда это будет сделано, мы вернемся к этому первому уравнению, чтобы определить из него

Далее, заметим, что наша система, будучи однородной, позволит нам в лучшем случае определить взаимные отношения чисел я; чтобы найти сами эти числа, мы должны, естественно, воспользоваться нормирующим соотношением

Таким образом, наша система получает следующий вид:

Эта система, в отличие от других, встречаемых в более простых задачах телефонии, не может быть решена методом последовательного (рекуррентного) определения неизвестных;

точное ее решение представляет поэтому значительные трудности. В дальнейшем мы увидим, что для практических целей достаточно дать приближенное решение, получаемое весьма просто.

К системе (1) надо присоединить еще одно добавочное уравнение

определяющее величину

§ 3. Приближенное решение основной системы

Все величины, входящие в нашу основную систему (1) (как данные, так и искомые), можно рассматривать как функции от на практике 7 обычно представляет собой небольшую дробь (примерно При величины стремятся к единице, а величины с буквенными нижними индексами — к нулю; при этом являются (независимо от верхних индексов) малыми первого порядка, второго и т. д. Аналогично этому а все с буквенными индексами бесконечно малы, причем порядок малости совпадает с числом нижних индексов.

Это обстоятельство, естественно, наводит нас на мысль искать приближенное решение системы (1), разлагая все данные и искомые величины по степеням и ограничиваясь в этом разложении членами того или иного порядка. В дальнейшем мы проведем все вычисления, пренебрегая всеми, содержащими третью и более высокие степени Первым следствием этого соглашения является то, что система уравнений становится конечной, причем и в оставшихся уравнениях ряд членов исчезает. Первое, четвертое, пятое и шестое уравнения обращаются в систему:

которая может быть решена без затруднений; мы получаем:

и, следовательно, с точностью до малых второго порядка

уравнение (2) дает нам поэтому

Если теперь принять во внимание, что

то мы после элементарных вычислений получаем с точностью до малых второго порядка

Однако эта формула еще не решает нашей задачи, как и вообще, с помощью одних только уравнений (1) и (2) ее невозможно решить. Дело в том, если величина прямо даиа то величина и, входящая в формулу (3), нам неизвестна; эта величина не принадлежит к числу априорных данных, а напротив, сама является функцией создающегося режима. Поэтому мы обращаемся к выводу второго соотношения, связывающего между собой величины

Если в некоторый момент провод свободен, то вероятность появления вызова со стороны одного (определенного) абонента до момента есть вероятность же появления за этот промежуток времени внешнего вызова есть таким образом, вероятность того, что к моменту провод окажется ваиятым (при условии, что в момент он был свободен), составляет . С помощью обычного рассуждения мы отсюда находим: если в момент 0 провод был

свободен, то вероятность того, что ближайшее занятие его произойдет в промежутке времени между равна

а это позволяет найти среднюю величину периода свободы:

но общее число периодов свободы, очевидно, равно числу разговоров, начинающихся без ожидания, т. е. Поэтому суммарная длительность периодов свободы, если положить составит

а так как суммарная длительность всех разговоров есть то мы, очевидно, имеем:

Это и дает нам искомое второе соотношение между отсюда

сопоставляя это с формулой (3), мы находим:

а подстановка этого выражения в формулу (3) приводит нас к окончательному результату:

Числовой пример: ;

§ 4. Вычисление среднего времени ожидания

Найти среднее время ожидания в данной схеме гораздо труднее, чем в обычных схемах телефонии. Мы ограничимся расчетом приближенной формулы, аналогичной той, которую мы нашли для числа потерь, и для практических целей вполне достаточной.

Обозначим через относительное время, в течение которого имеется ожидающих (абонентов или внешних вызовов — безразлично). Найдем сначала приближенное выражение для времени, протекающего в отсутствие ожидающих. Очевидно, что слагается из следующих компонент:

1) время, когда провод свободен

2) время, когда провод занят, ожидающих это время мы должны вычислить.

Заметим, что относительное число разговоров, в начале которых не имеется ожидающих, равно

Если в момент 0 начался разговор этого типа, то вероятность того, что в течение малого промежутка последует вызов, равна а потому, как известно, вероятность того, что до момента вызова не последует, равна вероятность того, что ближайший вызов последует в промежутке равна

Поэтому математическое ожидание той части разговора, которая протекает в отсутствие ожидающих, равно

что по вычислении дает

Таким образом, суммарная длительность тех частей разговоров, в течение которых не имеется ожидающих, равна с точностью до малых второго порядка

принимая же во внимание сказанное выше, мы находим:

Теперь мы должны были бы перейти к вычислению величины это можно произвести теми же методами, хотя и несравненно сложнее. Однако нетрудно сообразить и без всяких вычислений, как должно выразиться с точностью, какую мы приняли. В самом деле, обозначая через время , в течение которого число ожидающих превосходит единицу, мы иепосредствеиио видим, что все это время принадлежит таким разговорам, при окончании которых (т. е. перед началом следующего разговора) число ожидающих не менее чем Относительное число такях разговоров равно и есть, как мы внаем, малая второго порядка, а так как суммарная длительность таких разговоров получается умножением их числа на то она есть следовательно, она (а тем более и не превышающая ее величина есть малая третьего порядка. Но если так, то с точностью до малых второго порядка мы должны иметь:

или в силу формулы (5)

или проще

так как есть малая третьего порядка. Но, с другой стороны, очевидно, что, обозначая через у среднее время ожидания, мы должны иметь:

откуда

в пределах требуемой точности мы вправе положить что дает

В случае числового примера § 3 мы находим: часа секунды.