Глава 4. ПОТОКИ С ОГРАНИЧЕННЫМ ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

§ 12. Другой способ описания потока

Способ задания потока вызовов, описанный нами в § 6, исходит из понимания потока как случайного процесса и ничем не отличается от общего способа описания произвольного случайного процесса. Это автоматическое включение теории потоков в общую теорию случайных процессов, несомненно, имеет свои преимущества, так как позволяет применять к изучению потоков методы и результаты общей теории случайных процессов; однако, учитывая специфические свойства наших потоков как случайных процессов [и в первую очередь то, что величина x(t) всегда монотонна и принимает лишь целые неотрицательные значения], мы можем надеяться найти для этих потоков хоть и менее общий, но зато более простой и удобный способ описания. Этим вопросом мы теперь и займемся.

Пусть снова начальный момент данного потока есть пусть есть момент вызова, так что положим, наконец,

так что при означает величину промежутка времени между вызовами. Очевидно, все представляют собой случайные величины, способные принимать лишь неотрицательные значения.

Условимся теперь считать поток заданным, если для любого задан -мерный закон распределения вектора Очевидно, этот способ описания потока более элементарен, чем выбранный нами в § 6, так как в основе его лежит представление о потоке не как о случайном процессе общего вида, а как о последовательности случайных величин. Убедимся теперь, что оба способа задания потока равносильны, т. е. что поток, заданный с помощью какого-либо одного из этих двух способов, будет тем самым однозначно описанным и в смысле другого способа.

Пусть, как в § означает число вызовов, предшествующих моменту очевидно, неравенства выражают собой одно и то же событие; то же самое имеет место и для неравенств а значит, и для неравенств Отсюда далее следует, что система неравенств

выражает то же событие, что и система неравенств

каковы бы ни были вещественные числа

Если поток вызовов задан в смысле § 6, то при любом и при любых нам задан закон распределения -мерного вектора значит, однозначно определена вероятность системы (12.2), а следовательно, и равносильной ей системы (12.1). Но ввиду произвольности чисел последнее означает, что однозначно задан закон распределения вектора а значит, и вектора

таким образом, данный поток однозначно определен и в новом смысле.

Обратно, если при любом нам задан закон распределения вектора то в силу

тем самым однозначно определен и закон распределения вектора Но при любых и любых

целых система неравенств

равносильна системе равенств

так как вероятность системы (12.3) однозначно определена, то то же имеет место и для системы (12.4). А это означает, что при любом и любых и,- однозначно определен закон распределения вектора (и,), (и,), т. е. что наш процесс однозначно определен в смысле § 6.

Таким образом, указанный нами иовый способ задания потока вызовов действительно равносилен принятому в § 6.