§ 29. Вывод основной системы уравнений

Пусть в момент теряется вызов на линии (или, что то же, поступает вызов на линию Тогда есть вероятность того, что в промежутке один вызов не будет потерян на (не поступит на Но это событие может произойти двумя способами:

В промежутке на не поступит ни одного вызова.

В промежутке на будут поступать вызовы, но ни одии из не будет потерян.

Мы имеем поэтому

при этом, в случае так как, с одной стороны, вызов, потерянный в момент на был потерян и на а с другой — поток вызовов, поступающих на совпадает с потоком вызовов, теряемых на

Переходим к определению Пусть первый вызов, поступающий на после момента происходит в промежутке вероятность этого события равна Для того чтобы этот вызов не был потерян на очевидно, необходимо и достаточно, чтобы линия до момента освободилась от того разговора, которым она была занята в момент 10; вероятность этого события равна Таким образом, вероятность того, что первый после момента вызов поступит на в промежутке и что этот вызов не будет потерян, равна

Мы утверждаем теперь, что если наступило все описанное и если то вероятность того, что в остающемся промежутке не будет потеряно на ни

одного вызова, равна Это вытекало бы непосредственно из определения функции если бы вызов, поступивший на в промежутке был потерян на этой линии; но на самом деле этот вызов по нашему допущению не теряется, так что наше утверждение требует обоснования. Будет ли вызов, поступивший на в момент в промежутке потерян нет, во всяком случае, раз этот вызов произошел, линия с момента будет занята. Когда она освободится — это в силу показательного закона распределения длин разговоров совершенно не зависит от того, была ли она занята поступившим в момент вызовом была занята ранее (и поступивший в момент вызов был потерян). С другой стороны, моменты дальнейших поступающих на I, вызовов зависят от того факта, что такой вызов поступил в момент но совершенно не зависят от судьбы этого вызова (от того, был ли он потерян или нет); не зависят, конечно, от этой судьбы и длины тех разговоров, которые начинаются этими последующими вызозами. Таким образом, ни одни из факторов, определяющих собой наличие или отсутствие потерь на в промежутка не зависит от того, какая судьба постигла вызов, поступивший в момент . И хотя этот вызов по нашему предположению не был потерян, вероятность того, что в промежутке потерь на линии не будет, такова же, как если бы он был потерян, т.е. равна Сопоставляя это с тем, что было установлено ранее, мы приходим к следующему выводу: при вероятность того, что первый после момента вызов поступит на в промежутке и что между ни один вызов не будет потерян на равна

Но чтобы получить вероятность события В, мы, очевидно, должны просуммировать все такие вероятности по от 0 до Это дает

и следовательно,

Это и есть исходная система уравнений теории Пальма. Из (29.1) непосредственно видно, что при любом

— неравенство, которое является очевидным и само по себе.