О ПУАССОНОВСКИХ ПОТОКАХ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ

§ 1. Постановка задачи

В классических приложениях теории потоков случайных событий (например, в теории распада атомов и теории массового обслуживания) рассматривается, как известно, в большинстве случаев лишь простейший вид таких потоков, когда вероятность наступления событий в произвольно взятом промежутке времени длины дается формулой

где — постоянная; такой поток предполагается обычно потоком без последействия, это означает, что для любой конечной подгруппы попарно не пересекающихся промежутков времени числа наступающих в этих промежутках событий представляют собой взаимно независимые случайные величины.

Причиной столь широкой распростраиеииости потоков специальной формы (1) служит, как известно, то, что эта форма для некоторого весьма обширного класса потоков фактически является единственно возможной. Именно, если к требованиям стационарности и отсутствия последействия добавить еще условие

где (0 означает вероятность наступления по меньшей мере двух событий в промежутке времени длины то рассматриваемый поток обязательно будет иметь форму (1)

(см., например, [1], гл. 1). Обратно, всякий поток без последействия, имеющий форму (1), очевидно стационарен и, как легко убедиться, удовлетворяет условию (2). Таким образом, три перечисленных свойства — отсутствие последействия, стационарность и условие (2) — полностью характеризуют собою класс «пуассоновских» потоков (1).

Однако в приложениях все чаще появляются задачи, требующие исследования нестационарных потоков событий без последействия. За исходный пункт такого исследования обычно бывает целесообразно принять «ведущую функцию» данного потока — математическое ожидание числа событий, наступающих в полуоткрытом промежутке . В стационарном случае где — постоянная; в общем случае любая неубывающая функция от при Обычно при этом предполагают, что поток имеет «пуассоновскую» форму

означает вероятность того, что в промежутке наступит событий данного потока; задание всех функций очевидно, дает полное описание данного потока без последействия]. Однако форма (3) при заданной ведущей функции отнюдь не является единственно возможной: ведь даже в стационарном случае, как было упомянуто выше, форма (3) [в этом случае совпадающая с (1)] имеет место лишь при выполнении дополнительного требования (2). С другой стороны, в моей недавней работе [2] непосредственно показано, что общая форма потоков без последействия с дайной ведущей функцией даже в случае непрерывной выходит далеко за пределы формулы (3).

Таким образом, естественно возникает вопрос о том, какими свойствами должен обладать поток без последействия для того, чтобы иметь простейшую (почти всегда принимаемую в приложениях) «пуассоиовскую» форму (3); дело идет при этом об отыскании возможно простого (необходимого и достаточного) дополнительного требования, подобно условию (2) в стационарном случае. Решение этой задачи означало бы распространение на нестационарный случай той фундаментальной теоремы, которую мы приводили в самом

начале для случая стационарного. От данного потока при этом, кроме отсутствия последействия, мы будем требовать только существование ведущей функции при

Как покажет исследование, наиболее интересным при этом будет случай, когда функция непрерывна; точки же разрыва этой функции, если они имеются, осложняют решение задачи лишь в весьма незначительной степени.

§ 2. Регулярный случай

Условимся ради краткости называть поток без последействия регулярным, если его ведущая функция всюду непрерывна. В этом параграфе мы будем рассматривать только регулярные потоки. В частности, регулярным будет любой стационарный поток без последействия [так как для такого потока

Пусть для любого стационарного потока и любого означает вероятность того, что в промежутке длины наступит по меньшей мере событий данного потока. Очевидно, мы всегда имеем

Убедимся прежде всего, что для стационарного потока условие равносильно соотношению

С этой целью заметим, что, как известно ([1], стр. 24), для любого стационарного потока при

в нашем случае

и, следовательно, таким образом, при отношение в нашем случае стремится к некоторому

конечному положительному пределу, и соотношение

показывает, что требования (2) и (4) действительно равносильны.

Условимся теперь называть любой (вообще говоря, нестационарный) поток ординарным, если при любых найдется такое что для имеет место неравенство

При этом означает вероятность того, что в промежутке наступит по меньшей мере событий данного потока. Вместо этого несколько сложного определения ординарности мы могли бы и просто сказать, что

равномерно в области если бы мы не были вынуждены учитывать возможность равенства

Для стационарного потока ординарность, очевидно, равносильна требованию (4) (а значит, как мы видели, и требованию (2)). Приведенная иамя в § 1 хорошо известная теорема может поэтому быть сформулирована так, что для стационарного потока без последействия ординарность служит необходимой и достаточной предпосылкой формы (1). Теперь мы покажем, что эта теорема распространяется иа все регулярные потоки: необходимой и достаточной предпосылкой пуассоновской формы (3) регулярного потока является его [понимаемая в смысле условия (5)] ординарность.

Доказательство. Пусть данный поток — регулярный и ординарный. Его производящая функция

как я показал в моей работе [2], может быть представлена в виде

где функции всюду непрерывный при не убывающие; при этом

Там же мною показано, что при

где любое разбиение промежутка и

В нашем случае, в силу предположенной ординарности данного потока, для любых найдется такое что при всегда

Отсюда

и следовательно, при

Поэтому, еслн достаточно мало, мы имеем при

и при из (6) следует

А так как может быть выбрано сколь угодно малым, то и мы находим

или, полагая

что равносильно (3).

Пусть мы теперь имеем любой регулярный поток вида (3). Полагая мы находим

так как функция равномерно непрерывна в любом конечном интервале, то величина А при бесконечно мала равномерно относительно Неравенство (5) тривиально при если же то в силу откуда снова вытекает (5), если а (а следовательно, и достаточно мало. Таким образом, данный поток — ординарный, и наше утверждение доказано полностью.

§ 3. Общий случай

Переходим теперь к случаю, когда любая неубывающая функция при . В моей уже цитированной работе [2] я называл данный поток сингулярным, если образующие его события могут наступать лишь в заранее определенные моменты времени (в конечном или счетном числе), а числа событий, наступающих в различные моменты представляют собою взаимно независимые случайные величины. В частности, если вероятность наступления сотытий в момент имеет вид

т. е. если каждая из только что упомянутых случайных величии распределена по некоторому закону Пуассона, то мы будем называть данный сингулярный поток пуассоиовским. Для полного описания такого потока достаточно, таким образом, задать все его «ступени» и соответствующие им значения а, пуассоиовского параметра.

Если имеется только одна ступень число наступающих в момент событий подчиняется пуассоновскому закону (8), то производящая функция числа событий, наступающих

в промежутке равна

Но в общем случае пуассоновский сингулярный поток представляет собою, очевидно, суперпозицию конечного или счетного числа элементарных потоков только что описанного типа, независимых между собою. Таким образом, для производящей функции общего пуассоиовского сингулярного потока мы находим выражение

При этом необходимо допустить, что ряд

сходится при любом мы имеем

Составим теперь суперпозицию данного пуассоиовского сингулярного потока с регулярным ординарным потоком (имеющим, согласно § 2, форму (3)), ведущую функцию которого мы обозначим через а производящую функцию через

Эта суперпозиция будет, очевидно, иметь тот же тип производящей функции, что и ее компоненты, с в качестве ведущей функции; образуемый ею поток имеет, следовательно, форму (3). Мы видим, таким образом, что суперпозиция двух взаимно независимых потоков, один из которых — регулярный ординарный, а другой — пуассоновский сингулярный с рядом значений параметра, сходящимся в любом конечном интервале, всегда является потоком вида (3).

Рассмотрим теперь произвольный поток без последействия вида (3), где означает некоторую неубывающую функцию при Пусть занумерованные в любом поридке точки разрыва функции Положим

так что непрерывная неубывающая функция. Положим далее

откуда

Оба множителя правой части этого равенства представляют собою производящие функции потоков типа (3), ведущие функции которых соответственно равны Так как функция непрерывна, то второй из этих потоков — регулярный; а так как это поток типа (3), то в силу результатов § должен быть ординарным.

Рассмотрим теперь первый поток с производящей функцией Так как

то

отдельный множитель произведения; стоящего в правой части этого равенства, имеет вид

и, следовательно, представляет собою производящую функцию распределения Пуассона с параметром следовательно, есть производящая функция пуассоиовского сингулярного потока со ступенями и параметрами так что ряд

сходится при любом

Мы приходим, таким образом, к заключению, что любой поток типа (3) может быть представлен в виде суперпозиции двух взаимно независимых потоков, из которых один регулярный и ординарный, а другой — пуассоновский сингулярный со сходящимися в любом конечном интервале рядом параметров.

Сопоставляя это с результатом, полученным выше, мы приходим к следующему предложению, которое и решает поставленную в настоящей статье задачу.

Теорема. Для того чтобы поток без последействия имел форму (3), необходимо и достаточно, чтобы он представлял собою суперпозицию двух взаимно независимых потоков, из которых один регулярный и ординарный, а другой — пуассоновский сингулярный, с рядом параметров, сходящимся в каждом конечюм интервале.

Разложение, о котором здесь ндет речь, непосредственно определяется ведущей функцией данного потока: ступенями сингулярной компоненты служат точки разрыва функции в качестве параметра а, для ступени фигурирует величина ; наконец, ведущими функциями компонент служат (Для сингулярной компоненты) и (для регулярной компоненты).

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)