§ 16. Предельная теорема

Только что доказанная теорема устанавливает, что в рассматриваемых нами условиях функции для суммарного потока стремятся при к соответствующим функциям простейшего потока с параметром А. Это, однако, еще не означает, что наш суммарный поток сам приближается к этому простейшему потоку. Дело в том, что, как мы видели в § 6, совокупность функций однозначно определяет собой данный поток лишь при условии, что это есть поток без последействия; мы же пока не рассматривали вопроса о последействии в нашем суммарном потоке. Поэтому вопрос о приближении этого суммарного потока к простейшему потоку с параметром требует дальнейшего исследования.

Как показывает заключительная формула § 6, для простейшего потока с параметром определяющей является формула

где любое натуральное число, и все неотрицательные целые, числа. Мы можем поэтому считать наш суммарный поток стремящимся к простейшему потоку с параметром если для этого суммарного потока вероятность, стоящая в левой части равенства (16.1), при любых да,

н при безгранично возрастающем имеет своим пределом правую часть этого равенства. Это мы теперь и установим. Введем сначала более удобные для дайной цели обозначения. Положим и обозначим через число вызовов, поступающих в промежутке Тогда, очевидно, равенство (16.1) равносильно равенству

В § 15 мы рассматривали событие состоящее в том, что за некоторый промежуток времени происходит вызовов и что все эти вызовы принадлежат различным слагающим потокам. Пусть отрезок разбит на частей длины которых мы будем обозначать теми же буквами, и пусть событие совершилось. В силу стационарности и взаимной независимости слагающих потоков для любого из поступивших в промежутке вызовов вероятность попасть в отрезок тогда равна каково бы ни было положение этого отрезка и каковы бы ни были моменты остальных поступивших вызовов. Обозначим через В событие

тогда из только что сказанного следует, что

Но в § 15 мы доказали, что при

Поэтому, учитывая, что в силу событие есть следствие события В, мы находим при

Так как правая часть этого соотношения совпадает с правой частью равенства (16.2), то наша предельная теорема доказана. Мы можем, таким образом, утверждать, что при рассматриваемых нами условиях суммарный поток действительно стремится к простейшему потоку с параметром

Примечание к лемме на стр. 55. Формулировка леммы иеивио предполагает, что при любом для каждого функции положительна. В действительности же сущесчвуют потоки, у которых для всех Это обстоятельство было отмечено в заметке Лукашгвич «Замечание об сдной теореме Хинчииа из теории случайных потоков», последующего изложения лемма Хинчииа должна быть заменена наследующую: Для любого потока и любого

Доказательство этой измененной леммы ивлиетси буквальным повторением рассуждений А. Я. Хинчина. - Б. Г.