§ 27. Элементарные расчеты

Как мы уже указали в предыдущем параграфе, для вызова, поступающего на данный пучок (или, что то же, на линию вероятность оказаться потерянным на пучке равна по формуле Эрланга

Очевидно, что вызов теряется на линии тогда и только тогда, когда теряется на пучке Поэтому можно также сказать, что число выражает собой вероятность потери на лниии однако при этом необходимо отчетливо иметь в виду, что речь идет о вероятности

потери на для вызова, поступающего на вероятность же потери на для вызова, поступающего на имеет другую величину, которую мы теперь должны постараться найти. Мы можем при этом допустить, что так как, очевидно,

Вероятность того, что вызов, поступивший на будет потерян на очевидно, может быть представлена в виде произведения двух множителей: вероятности того, что он будет потерян на и условной вероятности его потери на если известно, что он потерян на (или, что то же, поступил на Но эта условная вероятность и есть поэтому

или

Несмотря на свою кажущуюся простоту, эта формула для расчетоз неудобна тем, что содержит одновременно и Поэтому удобнее заменить ее формулой

которую мы сейчас докажем. Положим для краткости

так что

следовательно, при

а это и есть (27.1). При этом необходимо иметь в виду, что А, в формуле (27.1) означает интенсивность первичного потока вызовов, поступающих на

Представляет существенный интерес сравнить между собой вероятности потери на различных линиях при одинаковой интенсивности поступающих на них потоков. Произведенные

подсчеты во всех случаях показывают, что эта вероятность возрастает с номером линии. В цитированной нами работе Пальм утверждает, что это непосредственно вытекает из формулы (27.1). Мы не видим, однако, как можно было бы это показать. Более того, нам вообще неизвестно, верно ли это утверждение в его общей формулировке Нам удалось доказать в этом направлении только следующее значительно более скромное предложение.

Теорема. Вероятность потери на при всегда больше, чем вероятность потери на если поступающие на эти линии потоки имеют одинаковую интенсивность.

Доказательство. Если интенсивность поступающего на потока равна то вероятность поступить на для вызова, поступившего на равна (так как это есть вероятность потерпеть потерю на линиях Поэтому среди А, вызовов, поступающих в среднем на в единицу времени, на будет в среднем поступать вызовов, т. е. поток вызозоз, поступающих на будет иметь интенсивность При этом, как мы знаем, вероятность потерн на для вызозоз этого потока равна

Если бы поток той же интенсивности падал на то вероятность потери на для вызовов этого потока согласно формуле (26.1) была бы

Для доказательства нашей теоремы достаточно поэтому убедиться, что при мы всегда имеем

или, наконец,

Пусть сначала Тогда (27.2) получает вид

что равносильно

или

и, следовательно, выполняется при любом

Пусть теперь неравенство (27.2) справедливо при каком-нибудь (и любом ); покажем, что в таком случае оно останется верным и при замене на т.е. что при любом будет иметь место неравенство

В силу (27.1) [помня, что мы имеем

Отсюда легко находим

где

Наша теорема будет доказана, если мы убгдимся, что при любом Положим для краткости

так что

Мы можем допустить, что так как в противном случае тривиальным образом Если , то, так как в силу мы имеем

если же , то, очевидно,

Таким образом, во всех случаях, и наша теорема доказана.