Глава 11. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОДНОЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

§ 38. Постановка задачи и обозначения

В двух предшествующих главах мы, следуя классическим работам Эрланга, нашли закон распределения времени ожидания в двух наиболее простых предположениях относительно закона распределения длин разговоров: в случае показательного распределения (см. гл. 9) и (для однолинейных систем) в случае стандартной длительности разговора (см. гл. 10). Однако можно считать, что на практике мы встречаемся

с тем или другим из этих двух простейших распределений лишь в очень редких случаях. В большинстве же приложений мы можем в лучшем случае рассчитывать лишь на некоторое приближение реального распределения длин разговоров к той или другой из наших двух предпосылок; и даже для такого расчета в очень многих случаях мы не имеем в сущности никаких оснований. Поэтому представляется весьма желательным построить метод, позволяющий определить закон распределении времени ожидания (или хотя бы важнейшие его статистические характеристики) при возможно широких предпосылках относительно распределения длин разговоров.

В своей общей постановке эта задача приводит к расчетам, трудно обозримым по своей сложности. Поэтому во всем дальнейшем мы сосредоточим наше внимание на практически весьма важном случае системы с одной линией. Зато в отношении закона распределения длин разговоров мы ограничимся естественным требованием существования конечного математического ожидания, остазляя этот закон во всем остальном совершенно произвольным. Мы увидим, что при этих предпосылках задача отыскания закона распределении времени ожидании принципиально решается до конца сравнительно несложными приемами.

В течение всей настоящей главы мы будем иметь дело с пучком из одной линии, на которую поступает простейший поток вызовов с параметром Вызовы, заставшие линию запитой, ожидают ее освобождения и занимают ее в порядке их поступлении. Длины разговоров не зависят ни друг от друга, ни от числа ожидающих. Вероятность того, что длина произвольно выбранного разговора окажется больше чем мы будем обозначать через так что средняя

длительность разговора будет

Кроме того, мы вводим следующие обозначения, которыми будем пользоваться на протяжении всей главы:

-вероятность того, что в произвольно выбранный момент времени лнння окажется занятой; иначе говоря математическое ожидание суммарного времени занятости линии за 1 час (часом мы будем условно называть принятую единицу времени);

вероятность того, что в начале произвольно выбранного разговора мы будем иметь ожидающих;

вероятность того, что в течение промежутка времени длины на линию поступит вызовов;

(случайная величина)-время ожидания для вызова, поступившего в произвольно выбранный момент времени.

Дальнейшие обозначения будут объяснены по мере их введения.

§ 39. Вспомогательные предложения

Лемма 1. Пусть 0 Вероятность застать линию в произвольно выбранный момент времени яанятой разговором, длина которого заключена между равна

Доказательство. Обозначим через вероятность застать линию занятой разговором длины, заключенной между в момент времени, произвольно выбранный в промежутке Лемма 1 у тверждает тогда, что

Обозначим далее через суммарную длительность всех разговоров и частей разговоров длины

ведущихся в промежутке есть случайная величина; если она принимает какое-либо значение то соответствующая условная вероятность застать разговор длины очевидно, равна Поэтому в силу формулы полной вероятности

где символ математического ожидания.

Для доказательства леммы 1 достаточно поэтому установить, что при

Пусть означает суммарную длительность разговоров длины начинающихся в отрезке Так как, очевидно,

а следовательно, и

то (39.1) равносильно соотношению

а так как очевидно, пропорционально то последнее соотношение означает просто, что при любом

В частности, это соотношение будет установлено (и, значит, лемма 1 доказана), если мы убедимся, что

Пусть и — любое положительное число и . В промежутке может тогда начаться не более одного разговора длины так что случайная величина может, кроме значения 0, принять только значение вида и где такое значение примет, очевидно, если (1°) в отрезке начнется по меньшей мере одни разговор и (2°) последний из начавшихся в разговоров будет длины Вероятность (2°) есть а вероятность (1°) при имеет вид где среднее число начал разговоров в единицу времени, совпадающее, очевидно, с параметром входящего потока вызовов. Таким образом, случайная величина в рассматриваемом нами случае либо равна иулю, либо принимает значение вида причем последнее — с вероятностью Таким образом,

и следовательно, суммируя по в от в до

Отсюда следует (39.2), а значит, и лемма 1.

Лемма 1, таким образом, доказана. При рассматриваемая в ней вероятность, очевидно, есть вероятность а того, что в произвольно выбранный момент времени линия окажется занятой. Мы приходим, таким образом, к важной формуле

(которую, впрочем, можно было бы усмотреть и непосредственным рассуждением).

Условимся называть разговором типа разговор, в начале которого имеется ожидающих, так что введенную иами в § 38 величину можно определить как долю разговоров типа среди всех ведущихся разговоров (вероятность того, что наудачу выбранный разговор окажется разговором типа

Лемма 2. Если в некоторый момент линия оказалась занятой, то условная вероятность того, что она занята разговором типа , равна

Доказательство. определению величины среди (зголороз, ведущихся в среднем в единицу времени, мы будем иметь в среднем разговоров типа k. Так как длительность разговора, как случайная величина, не зависит от числа ожидающих в его начале (т. е. его типа), то средняя длительность разговори тина равна а следовательно, суммарная длительность разговоров тина ведущихся в единицу времени, в среднем равна но условная вероятность, о которой идет речь в лемме 2, есть отношение этой средней суммарной длительности ко времени занятости линии, т. е. к а; таким образом, эта условная вероятность равна и лемма 2 доказана.

Выберем теперь произвольный разговор длины и найдем вероятность того, что через промежуток времени после начала этого разговора число ожидающих будет равно Так как длина и тип разговора взаимно независимы, то вероятность того, что в начале выбранного разговора будет ожидающих, равна если же это случится, то для того, чтобы по истечении времеии число ожидающих достигло необходимо и достаточно, чтобы было и чтобы за этот промежуток времени поступило новых вызовов, вероятность чего есть

Мы приходим таким образом к следующему предложению.

Лемма 3. Вероятность того, что через промежуток времени после начала произвольно выбранного разговора длины мы будем иметь ожидающих, равна

Условимся теперь обозначать через промежуток времени между произвольно выбранным моментом и окончанием

того разговора, который мы в этот момент застали (остаточная длительность случайно застигнутого разговора). Имеет место

Лемма 4. Пусть мало. Вероятность застать в произвольно выбранный момент ожидающих и разговор с равна

Доказательство. Трудность обоснования леммы 4 заключается в том, что закон распределения случайной величины зависит от того, сколько ожидающих мы застаем в выбранный нами момент времени. Еслн мы обозначим через а — событие, состоящее в том, что в выбранный момент имеется ожидающих; событие, состоящее в том, что в выбранный момент ведется разговор с то эти событии взаимно зависимы; наша задача — определить вероятность их совместного наступления. С этой целью рассмотрим сначала условную вероятность той же пары событий при условии, что застигнутый разговор имеет длину Мы можем записать в легко понятных обозначениях

Так как выбранный нами момент, еслн он застал разговор длины с одинаковой вероятностью мог попасть в любой момент этого разговора, то

С другой стороны событие равносильно событию

где есть возраст застигнутого разговора. Такям образом, есть условная вероятность застать в произвольно выбранный момент ожидающих, если известно, что в этот момент мы застали разговор длины и возраста, заключенного между Согласно определению

функции лемму 3) эта вероятность при асимптотически равиа

Таким образом, в силу (39.3) и (39.4) мы имеем

Такова условная вероятность совместного наступления событий при условии, что застигнут разговор длины Нам остается теперь освободиться от этого условия. Согласно лемме 1 закон распределения длины застигнутого разговора есть

и мы имеем по формуле полной вероятности

что и требовалось доказать. Лемма 5.

Доказательство. По смыслу функции формулировку леммы 3] интеграл

означает вероятность того, что в конце произвольно выбранного разговора мы будем иметь ожидающих. В случае это равносильно тому, что следующий разговор начнется при ожидающих, вероятность чего равна . Этим доказано первое из двух утверждаемых равенств.

В случае вероятность того, что выбранный разговор окончится при одном ожидающем, будет меньше чем ; дело в том, что разговор без ожидающих может начаться не только при окончании предшествующего разговора с одним ожидающим, но и другим способом — появлением вызова в момент, когда линия свободна. Поэтому

где Для определения мы сложим между собой все установленные нами соотношения, замечая при этом, что

при любом поэтому мы получаем

а так как в силу леммы то отсюда

и лемма 5 доказана полностью. Лемма 6. При

Доказательство. В силу леммы

что и требовалось доказать.

Обозначим через характеристическую функцию длительности разговора, т. е. положим

положим, далее, для любого вещественного

наконец, пусть

Лемма 7.

Доказательство. В силу леммы 5 мы имеем [определяя формулой (39.5)]

откуда в силу леммы 6

Для докчзательства леммы 7 остается показать, что . Но не зависит от , а так как то из последней формулы

или, по правилу Лопиталя,

но при и мы действительно находим

§ 40. Характеристическая функция времени ожидания

Целью нашего нсслгдования является отыскание закона распределения случайной величины у — времени ожидания для вызоза, производимого в произвольно выбранный момент времени. Так как всякий закон распределения однозначно

определяется соответствующей характеристической функцией, а отыскание важнейших свободных характеристик случайной величины по ее характеристической функции обычно бывает проще, чем по ее закону распределения, то мы естественно будем считать нашу цель достигнутой, если нал удастся найтн характеристическую функцию величины у, т. е. математическое ожидание величины как функцию вещественного параметра К этому и будут направлены наши усилия.

Пусть в дальнейшем есть символ математического ожидания, так что Мы будем различать следующие возможности. Во-первых, в произвольно выбранный момент мы можем застать линию свободной; вероятность этого равна 1 — а, и в этом случае наверняка Во-вторых, мы можем застать линию занятой при ожидающих вероятность этого мы обозначим через а математические ожидания, вычисленные при этом условии, будем обозначать через Очевидно, мы имеем

Если наш вызов застал линию занятой при ожидающих, то время ожидания у для него слагается двух частей: 1) остаточная длительность того разговора, который ведется в момент появления нашего вызова, и 2) суммарная длительность разговоров тех ожидающих, которых наш вызов застал при своем появлении. Мы имеем поэтому

Но очевидно, что при данном величины и взаимно независимы. Поэтому мы имеем

Величина вычисляется непосредственно. В самом деле, величина есть сумма взаимно независимых случайных величин, распределенных по закону с характеристической функцией Поэтому

и мы находим

Обозначим через закон распределения величины (вероятность неравенства при ожидающих. Тогда

Но величина

есть, очевидно, вероятность того, что наш вызов застанет пннию занятой при ожидающих и что при этом будет Эта вероятность в силу леммы 4 с точностью до малых высших порядков при равна

Поэтому мы получаем

и следовательно,

откуда в силу леммы 6

где положено, как в § Если мы еще в согласии с § 39 положим

то получим

Наконец, выражая согласно лемме 7, получаем

Полученная таким образом формула

может считаться полным решением поставленной задачи, так как характеристическая функция искомого закона

распределения времени ожидания нами выражена через данные постоянные и через характеристическую функцию Данного закона распределения длин разговоров.

В качестве первой иллюстрации формулы (40.1) рассмотрим, какое выражение с ее помощью получает среднее значение времени ожидания. Мы имеем в виду

а так как в силу (40.1)

то

Предел этого выражения при легко находится по правилу Лопнталя и равен

Величина

есть взятое с обратным знаком математическое ожидание квадрата длины разговора. Мы находим таким образом

или

Эта простая формула, между прочим, показывает, что при дайной загрузке линии а и при данной средней длине разгозора время ожидания будет в среднем тем меньше, чем меньше дисперсия длин разговоров, т. е. чем более стандартизованы эти длины.

В качестве второй иллюстрации рассмотрим простейший случай показательного распределения

длин разговоров. Мы легко находим в этом случае

откуда

и, значит, в силу (40.1)

Но

есть характеристическая функция показательного закона распределения с параметром Поэтому (40.2) показывает, что закон распределения времени ожидания есть

где

Это согласуется с формулой

полученной нами в конце главы 10 для случая линий. В самом деле, при мы имеем Член же при равен нулю, а при обращается в

(см. скан)

(см. скан)