МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

ПРЕДИСЛОВИЕ

В науке, практической деятельности людей и в быту каждодневно создаю ген такне положении, когда возникает массовый сиро: на обслуживание какого-либо специального вида, причем обслуживающая организации, располагая лишь ограниченным числом обслуживающих единиц, не всегда способна немедленно удовлетворить все поступающие заявки. Примеры такой ситуации хорошо известны каждому. Очереди у магазинных и билетных касс, в буфетах, парикмахерских и т. д.; невозможность получить билет на нужный поезд из-за его переполнения; задержка в посадке самолетов, вызываемая отсутствием свободных посадочных площадок; задержка в ремонте потерпевших аварию станков из-за нехватки ремонтных бригад — все эти и многие другие аналогичные, хорошо известные примеры, несмотря на существенные различии их реального содержания, с формальной стороны очень близки друг Другу. Во всех подобных случаях перед теорией встает, в сущности, одна основная задача: установить с возможной точностью взаимную зависимость между числом обслуживающих единиц и качеством обслуживания. При этом качество обслуживания в различных случаях, естественно, измеряется различными показателями. Большей частью таким показателем служит либо процент заявок, получающих отказ (процент пассажиров, не получивших билетов на данный поезд), либо среднее время ожидания начала обслуживания (очереди различного рода). Разумеется, качество обслуживания во всех случаях тем выше, чем больше число обслуживающих единиц; однако столь же очевидно, что чрезмерный рост этого числа сопряжен с излишним расходом сил и материальных средств; практически поэтому вопрос обычно ставится так, что сначала

устанавливается необходимый уровень качества обслуживания, а затем находится минимальное число обслуживающих единиц, при котором этот уровень может быть достигнут.

В задачах подобного рода почти всегда приходится учитывать влияние случайного элемента на течение изучаемого явления. Количество поступающих заявок не является, как правило, постоянным, а испытывает случайные колебания. Время обслуживания заявок в большинстве задач не является стандартным, а подвержено случайным колебаниям от одной заявки к другой. Все эти элементы случайности отнюдь не имеют характера небольших «возмущений», нарушающих собой плавный и закономерный ход явления; напротив, они составляют собой основную черту в картине изучаемых процессов. Естественно поэтому, что математическим инструментом теории массового обслуживания должны стать понятия и методы теории вероятностей — математической дисциплины, посвященной изучению закономерностей случая.

Цель настоящей книги — ознакомить читателя с основными идеями, методами и отдельными ходами мысли, господствующими в приложениях теории вероятностей к вопросам массового обслуживания. Необходимость создания монографии подобного рода уже давно ощущается как математиками, так и практическими работниками (в первую очередь связистами, в свое время вызвавшими к жизни изучаемую теорию и до сих пор остающимися ее главными потребителями). Эта потребность усиливается еще тем обстоятельством, что сколько-нибудь доступных изложений общей теории не имеется и за границей.

Само собой разумеется, что предлагаемая монография ни в какой мере не может претендовать на полноту сообщаемых сведений. Теория массового обслуживания в настоящее время разрослась очень широко, и для сколько-нибудь полного изложения хотя бы только важнейших из ее достижений понадобился бы толстый том. Однако такой цели я себе и не ставил. Моей задачей было — осветить на небольшом числе важнейших примеров общий характер, основной стиль испольвовання вероятностных рассуждений в вопросах массового обслуживания. Исходя из этой «методологической» целевой установки, я и производил отбор материала для моей монографии. Особое внимание было при этом уделено трудам основоположника теории А. К. Эрланга, далеко не все исследования

которого известны у нас в той степени, какой они заслуживают. В значительном количестве мною введены в книгу также идеи К. Пальма — крупнейшего современного продолжателя дела Эрланга. В известной мере я учел и пробивающееся все чаще в наши дни стремление искать более элементарные методы исследования в противовес почти безраздельно господствующим со времени классических трудов Эрланга аналитическим методам, связанным с составлением систем дифференциальных, разностно-дифференциальных и интегральных уравнений. В этом направлении я обращаю внимание читателя на § 2 и 25, а также на всю главу II. Попытка создания общей элементарной теории предпринята недавно в интересной статье Лундквиста (Ericsson Technics, 1953).

Составление этой монографии было очень сильно затруднено тем обстоятельством, что вся основная литература принадлежит перу практических специалистов и в математическом отношении является неудовлетворительной. Чтобы придать всему изложению форму, сколько-нибудь приемлемую в математическом смысле, я не мог оставить почти ни одного рассуждения в его первоначальном виде; приходилось либо существенно дополнить приводимую автором аргументацию, либо выбрасывать ее и заменять другой. В равной степени и вводимые новые понятия во многих случаях пришлось определять по-иному, так как определения, даваемые авторами, оказывались недостаточно четкими.

Чтобы помочь читателю связывать общие понятия с конкретными представлениями, я на протяжении всей книги пользуюсь терминологией, заимствованной из телефонной практики, запросы которой до сих пор остаются важнейшим стимулом развития теории массового обслуживания. Так, я говорю о «вызовах» (вместо «требований» или «заявок»), о «потерях» (вместо «отказов»), о длительности «разговора» (вместо «обслуживания») и т. п. Однако во всех случаях все сказанное относится, разумеется, к любому виду массового обслуживания при соответствующем изменении терминологии.

Книга разделена на три части, из которых первая — самая большая — посвящена изучению «потока» поступающих вызовов и вовсе не содержит вопросов обслуживания (которым посвящены две остальные части). Такое отчетливое выделение в особую часть изучения входящего потока казалось мне целесообразным не только потому, что для правильного

обслуживания надо прежде всего хорошо энать то, что обслуживаешь, хорошо знать все черты чередования поступающих заявок; другой, не менее важный повод к такому выделению состоял в том, что теория входящего потока вызовов есть не что иное, как общая теория случайного чередования однородных событий, которая находит себе широкий круг применений и в областях, ни с каким обслуживанием не связанных (например, в вопросах радиоактивного распада атомов).

Я стремился сделать книгу доступной всякому, кто владеет основными понятиями теории вероятностей и хотя бы кратким (втузовским) курсом математического анализа. Во многих случаях изложение могло бы бить сокращено, если бы я, вместо проведении полного доказательства того или иного утверждения, позволил себе сослаться на общие результаты соответствующей вероятностной теории (цепь Маркова, случайные процессы, эргодическаи теории). Однако, желая сделать книгу более доступной возможно более широкому кругу читателей, я почти нигде не поддавался такого рода искушению.

В теории вероятностей принято называть законом распределения данной случайной величины (неубывающую) функцию выражающую собой вероятность неравенства В теории массового обслуживания часто оказывается более удобным называть законом распределения величины (невозраста ющую) функцию выражающую собой вероятность неравенства Мы будем, в зависимости от обстоятельств, пользоваться тем или другим пониманием закона распределения.

2 октября 1954 г. А. Хитин