§ 3. Метод дифференциальных уравнений

В специальной литературе поставленная нами задача решается обычно другим методом, менее элементарным, но зато легко распространяемым на более сложные задачи. Рассмотрим теперь этот метод. Пусть любые положительные числа и пусть Пусть число вызовов в промежутке в промежутке Для того чтобы в промежутке произошло вызовов, необходимо и достаточно наступление одного из следующих двойных событий: Но вероятности событий соответственно равны а так как эти события взаимно независимы (поток без последействия!), то

Но при мы имеем:

и, следовательно, (3.1) дает

Это показывает, что функция дифференцируема при любом и что

если положить для общности то уравнение (3.2), как мы непосредственно убеждаемся из (2.2), имеет место и при

Таким образом, для определения искомых функций мы получили систему линейных дифференциальных уравнений (3.2). Эта система легко решается различными методами, из которых мы рассмотрим два наиболее поучительных для дальнейшего.

А. Метод замены искомых функций

Положим

отсюда

вставляя же эти выражения в уравнения (3.2), легко находим

где по определению Отсюда, интегрируя, находим

Очевидно, мы имеем при любом

но по определению функций

поэтому и и мы находим при

Замечая, что в силу (2.2) мы имеем по определению функций

мы по формуле (3.3) рекурреитно находим

и, следовательно,

т. е. получаем прежнее решение вадачи.

В. Метод производящих функций

Положим

ряд в левой части этого равенства во всяком случае абсолютно сходится при Умножая на все члены уравнения (3.2) и суммируя по от 0 до мы легко находим

или

отсюда

но легко видеть, что при любом

поэтому (3.4) дает

Сопоставляя это с определением функции мы непосредственно видим, что

т. е. снова приходим к прежнему решению задачи.