§ 23. Решение задачи
Пусть в начальный момент
мы имеем
в частности, если известно, что при
система находится в состоянии
, то
во всех случаях
. Полагая тогда
в выражении (22.3) функции
мы находим
откуда
В частности,
и для производящей функции мы получаем уже окончательное выражение
Наша задача состоит в том, чтобы, пользуясь этим выражением, найти пределы вероятностей
при
Как показывает соотношение (23.1), величина
может быть представлена в виде (сходящегося при
ряда по степеням
Убедимся теперь, что при
мы имеем
В самом деле, в силу (23.1)
так как
сравнение левой части с правой прежде всего показывает, что все
Далее, полагая в этом равенстве
мы находим
откуда при
наконец, полагая в
мы находим при любом 0
откуда в силу предыдущего
и наше утверждение доказано.
В силу (22.3) мы теперь имеем
откуда
Если теперь при фиксированном
заставить
безгранично возрастать, то, как мы видели выше,
а потому
что полностью решает поставленную задачу. Мы приходим при этом к тем самым формулам, которые мы в начале § 22 в порядке гипотезы получили предельным переходом из формул Эрланга для конечного пучка.