§ 31. Определение функций ...
Обозначим через
многочлен степени
где
и следовательно,
Лемма. Многочлены
связаны рекуррентной формулой
Доказательство. Мы имеем
(см. скан)
что и доказывает лемму.
Теперь мы можем найти явное выражение для рациональных функций
Теорема.
Доказательство. Так как
как легко видеть,
то при
доказываемое соотношение (31.2) имеет вид:
и было нами установлено уже в § 30. Допустим поэтому, что
и соотношение (31.2) уже установлено для
Убедимся, что оно остается справедливым и для
этим, очевидно, теорема будет доказана.
В силу принятого допущения мы имеем
где
Поэтому в силу (30.2)
Подлежащее доказательству соотношение (31.2) поэтому равносильно соотношению
которое в свою очередь в силу (31.1) равносильно соотношению
подставляя вместо
его выражение (31.3), мы находим,
что доказать надо следующее равенство:
или
Но это соотношение мы непосредственно получаем, заменяя в рекуррентной формуле
на
на Таким образом, наша теорема доказана.
Мы видим, что каждая функция
представляет собой лравильную рациональную дробь, числитель которой есть многочлен степени
, а знаменатель — степени