Глава 10. ОДНОЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ В СЛУЧАЕ СТАНДАРТНОЙ ДЛИНЫ РАЗГОВОРА

§ 86. Разностно-дифференциальное уравнение задачи

За пределами показательного распредели длии разговоров исследование систем с ожиданием сопряжено с большими трудностями. Простые и законченные результаты здесь удается получ лишь в некоторых частных предположениях. Особенно важным в практическом отношении является случай систем с одной линией (короче: однолинейных систем), для которых задача исследования времени ожидания может быть продвинута весьма далеко при статистических предпосылках широкой общности. Этим случаем мы и будем теперь заниматься до конца книги.

В настоящей главе мы изложим созданную Эрлаигом интересную как оригинальностью метода, так и законченностью результатов теорию однолинейных систем в предположении, что все разговоры имеют в точности одну и ту же длину Во всех других отношениях мы сохраняем статистические предпосылки предшествующей главы.

Рассмотрим какие-либо два последовательных вызова. Пусть время ожидания первого вызова, а у — второго. Обозначим через расстояние между этими двумя вызовами. Очевидно, что если то при появлении второго вызова (единственная) линия свободна и если же появлении второго вызова линия занята и ему приходится ждать в течение промежутка времени Таким образом, мы находим, что при данном

или, что то же,

Пусть теперь любое положительное число. Убедимся, что при данном неравенства равносильны между собой. В самом деле, если то либо и тогда и значит, обратно, если . Таким образом, если означает условную вероятность, вычисленную в предположении, что то мы имеем при любом

но (время ожидания первого вызова), очевидно, не зависит (как случайная величина) от того, когда последует второй вызов, т. е. какое значение получит величина поэтому условная вероятность неравенства равна безусловной вероятности того же неравенства, и мы получаем

Обозначим через закон распределения величины у, полагая

Так как поток вызовов мы предполагаем простейшим с параметром К, то вероятность неравенств и (с точностью до бесконечно малых высших порядков) равна и мы по формуле полной вероятности находим

или в силу (36.1) при

Но закон распределения величины дается той же функцией что и для величины у; поэтому мы находим

Это уравнение и будет служить нам основой для определения искомой функции Прежде всего, предполагая эту функцию дифференцируемой, мы находим

и интеграция по частям дает

или

Мы получаем, таким образом, для определения функции разностно-дифференциальное уравнение простого вида. Это уравнение может быть еще упрощено преобразованием искомой функции

что, как легко видеть, дает для новой неизвестной функции уравнение

§ 37. Закон распределения времени ожидания

Рассмотрим сначала отрезок времени в силу при этом имеют место все соотношения, выведенные, в § 36. Но при мы имеем и следовательно, соотношение (36.2) дает

откуда

Чтобы определить постоянную с, заставим в последнем равенстве стремиться к нулю; в пределе мы получим а потому это есть вероятность того, что поступившему в произвольно выбранный момент вызову не придется ожидать (линия окажется свободной); поэтому где а означает вероятность в произвольно выбранный момент застать линию занятой. Иначе говоря, а есть математическое ожидание суммарной длительности всех разговоров, ведущихся в течение единицы времени. Но математическое ожидание числа разговоров в единицу времени равно а длительность каждого разговора равна следовательно,

Таким образом, окончательно

и закон распределения времени ожидания найдеи нами для отрезка

Мы теперь докажем, что для любого неотрицательного целого числа в отрезке функция определяется формулой

Так как функция просто выражается через функцию то этим мы получим явное выражение для закона распределения времени ожидания.

При формула (37.1) дает

что нами доказано выше. Поэтому мы можем доказать формулу (37.1) с помощью индукции. Допустим, что верна для какого-либо числа и покажем, что в таком случае она останется верной и для числа

Итак, пусть соотношение (37.1) верно при если то в силу (36.2)

(см. скан)

где суммирование по можно вести от нуля, так как члены с в обоих суммах, очевидно, взаимно уничтожаются. Формула (37.1) по нашему допущению верна при Полагая в ней мы находим

где суммирование можно вести до потому, что член суммы очевидно, равен нулю. Наконец, складывая между собой равенства (37.2) и (37.3), мы находим

при любом в промежутке что и требовалось доказать.

Таким образом, мы получаем для любого

где целое неотрицательное число определяется неравенствами