О ФОРМУЛАХ ЭРЛАНГА В ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

1. Постановка задачи. Все изложенное в настоящей статье относится в равной мере к любым установкам массового использования, и лишь ради краткости мы будем пользоваться терминологией, принятой в приложениях теории вероятностей к телефону.

В теории массового обслуживания принято называть законом распределения случайной величины вероятность неравенства в этом смысле законы распределения и будут пониматься во всем дальнейшем.

Пусть мы имеем дело с телефонной установкой, имеющей обслуживающих устройств, которые мы для краткости будем называть линиями. На эти линии поступают требования (вызовы). Если в момент такого вызова имеется свободная (незанятая) линия, то вызов занимает ее (одну из них, если свободных линий несколько). Период занятия линии одним вызовом называется разговором; по окончании

разговора линия освобождается и может быть занята новыми вызовами. Если в момент поступления вызова все линий заняты, то вызов получает отказ (потерю) и все дальнейшее происходит так, как если бы этого вызова не было. Если в данный момент занято из общего числа линий то мы для краткости будем говорить, что система находится в состоянии

Одним из важнейших показателей качества обслуживания для даииой установки служат вероятности различных ее состояний. Под вероятностью состояния при этом всегда понимается доля времени, в течение которого система находится в этом состоянии. При этом имеется в виду, что промежуток времени в течение которого ведется наблюдение, очень велик. В частности, вероятность состояния , т. е. доля времени, в течение которого поступающие вызовы получают отказы, называется вероятностью потери (или опасным временем). Очевидно, что вероятности состояний зависят как от природы поступающего потока вызовов, так и от закона распределения длительности разговоров. Поступающий поток вызовов обычно предполагается простейшим; это значит, что для любого момента времени а вероятность отсутствия вызовов в промежутке равна (где постоянное положительное число) и не зависит от всего предшествующего течения потока. Что касается длительности разговоров, то, прежде всего, предполагается, что длины различных разговоров не зависят ни друг от друга, ни от того, как протекает поток вызовов.

Пусть закон распределения длительности разговоров, т. е. доля тех разговоров, длительность которых превосходит Эрланг выводил свои известные формулы вероятностей состояний в предположении постоянная); это допущение, как известно, вообще значительно облегчает исследование вопросов теории массового обслуживания. Однако ввиду важности задачи позднее был сделан ряд попыток показать, что формулы, найденные Эрлангом, сохраняют силу при любом законе (иногда этот закон подчиняется некоторым требованиям общего характера, например условию непрерывности). Во всех этих попытках

используется сложный аналитический аппарат и, насколько мы можем судить, так и не приводит к окончательному решению задачи. Лишь в 1953 г. появилась работа Лундквиста [3], знаменующая собой некоторый сдвиг в этом направлении; с помощью нового, простого и элементарного метода Лундквисту удалось показать, что формулы Эрланга сохраняют силу и в случае, когда все разговоры имеют одну и ту же длину в случае

Настоящая работа ставит себе целью показать, что некоторое усовершенствование метода Лундквиста позволяет установить формулы Эрланга и для любого закона распределения При этом все рассуждение не только не усложняется, но, напротив, становится более кратким и обозримым.

2. Обозначения. Значение символов А, и определено в обозначим через среднюю длительность разговора, так что

Отрезок времени, в течение которого система находится в состоянии мы будем обозначать через Число всех отрезков за время обозначается через Очевидно, что каждый отрезок начинается и кончается либо вызовом, либо освобождением линии. Обозначим через долю отрезков начинающихся вызовом (освобождением); через долю отрезка кончающихся вызовом (освобождением), и, наконец, через долю отрезков начинающихся и кончающихся вызовом.

определяются по аналогии очевидным образом.

Условимся говорить, что данный отрезок принадлежит типу А, если он начинается с вызова. Тогда непосредственно ясно, что означает принадлежность отрезка типам

Далее, обозначим через среднюю длительность отрезка (отрезка типа А, отрезка типа В), так что

Наконец, пусть означает вероятность состояния отношение суммарной длительности всех отрезков за (большой) промежуток времени к длине этого промежутка.

3. Элементарная статистика отрезков Из определений с непосредственной очевидностью вытекают соотношения

Далее, непосредственно очевидно, что между двумя последовательными отрезками типа должен обязательно встретиться отрезок типа и обратно; из этого следует важное соотношение

отсюда и из формул (3) следует

и аналогично

4. Исходная рекуррентная формула. За каждым отрезком типа а следует отрезок типа обратно, каждому отрезку типа А предшествует некоторый отрезок типа а. Отсюда

или в силу (5)

Так как суммарная длительность всех отрезков равна то

Поэтому из (6) следует

или

Эта элементарная рекуррентная формула и служит отправным пунктом при выводе формул Эрланга. Для ее применения необходимо найти величины . К их постепенному отысканию мы теперь и переходим.

5. Закон распределення оставшейся части разговора. Пусть в некоторый произвольно выбранный момент времени мы застали ведущийся разговор (наряду, быть может, с другими разговорами). Обозначим через вероятность того, что по истечении сек этот разговор еще не будет закончен. Чтобы подойти к определению функций разобьем отрезок времени на очень малые части одинаковой длины (я чей к и). Отрезок какого-либо разговора, приходящийся на одну такую ячейку длины условимся называть элементом. Если под нормальным элементом понимать такой, у которого содержащий его разговор по истечении сек еще не будет закончен, то можно статистически определить как отношение числа нормальных элементов к числу всех элементов (точнее, как предел этого отношения при Число всех элементов равно суммарной длительности всех ведущихся в отрезке разговоров, разделенной на т. е. равно

где число всех разговоров время Подсчитаем теперь, сколько среди этих элементов будет нормальных.

Число разговоров в отрезке длина которых заключена между будет

При разговор такой длины, очевидно, нормальных элементов содержать не будет. Если же то нормальными элементами будут те, которые отстоят менее чем на от начала разговора (более чем на от его конца). Число нормальных элементов для одного разговора длины поэтому равно а число таких элементов для

всех разговоров длины и равно

Суммируя по и это выражение, мы находим, что число всех нормальных элементов равно

для функции являющейся отношением величии (9) и (8), мы отсюда находим выражение

Интеграция по частям дает

6. Законы распределения длин отрезков различных типов. Рассмотрим какой-либо отрезок типа А и допустим, что (отрезков типа А не существует, а случай требует особого рассмотрения, которое будет проведено в дальнейшем). Для того чтобы этот отрезок нмел длину необходимо и достаточно выполнение следующих трех условий:

1. В течение сек после начала не поступает ни одного вызова; вероятность этого условия равна

2. Разговор того вызова, которым начинается имеет длительность вероятность этого условия равна

3. Каждый из тех разговоров, которые уже велись в начальный момент продолжается еще сек. Вероятность этого условия ввиду взаимной независимости длительностей различных разговоров равна

Так как эти три условия взаимно независимы, то для отрезка типа А вероятность длины (закон распределения) равиа

Для отрезка типа В дело обстоит несколько иначе, так как вдесь для всех ведущихся разговоров время их начала неизвестно; поэтому рассуждение, аналогичное только что нами проведенному, для длин отрезков типа В дает, как легко видеть, закон распределения

(эта формула пригодна и при

С другой стороны, будет интересовать вероятность того, что отрезок того или другого типа закончится поступлением нового вызова в возрасте между Чтобы это произошло, необходимо выполнение следующих двух условий: 1) ни один разговоров, ведущихся в данном не должен закончиться за время после начала вероятность этого условия равна, как мы уже видели, Для типа для типа первый после начала данного вызов должен поступить через промежуток времени, заключенный между вероятность этого условия равна Таким образом, вероятность закончиться вызовом в возрасте между равна

Вероятность же закончиться вызовом независимо от возраста (т. е. принадлежать типу а) для отрезка того или другого типа А или В получится интегрированием того или другого из только что написанных выражений по от 0 до Но эта вероятность есть для типа А условная вероятность принадлежать типу а для типа В—условная вероятность принадлежать типу Эти две условные вероятности в принятых нами обозначениях выражаются соответственно в виде Таким образом,

7. Определеиие чисел Мы можем теперь перейти к определению входящих в рекуррентное соотношение (7). При этом мы по-прежнему предполагаем

Так как есть закон распределения длин отрезков типа А, то среднее значение этих длин равно

и аналогично

поэтому соотношения (11) дают

Из этих же формул в силу (4) получаем

С другой стороны, интеграция по частям и формула (10) дают

Приравнивая друг другу правые части равенств (13) и (14), мы находим

в то же в силу (2) дает

Наконец, в силу (12) и (5) формула (1) дает при

мы иашли, таким образом, числа для всех

Нам остается рассмотреть случай Легко видеть, что в этом случае

вследствие чего в силу (10)

8. Формулы Эрланга. Подставляя в рекуррентное соотношение (7) вместо найденные нами значения этих величин, мы легко получаем (случай не составляет исключения)

откуда

Присоединяя же сюда нормирующее соотношение

находим

что и дает известные формулы Эрлаига.

Впрочем, ничто в предыдущем не мешает нам считать число линий а бесконечно большим. В этом случае мы получаем также хорошо известные формулы Пуассона

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)