§ 24. Поток с переменным параметром

Методы, изложенные нами в §§ 22 и 23, позволяют легко решить задачу Эрланга для бесконечного пучка и в том случае, когда параметр поступающего потока вызовов меняется с течением времени. Мы уже имели дело с этим случаем в § 5. Будем в дальнейшем и здесь обозначать через «мгновенное значение» параметра в момент определяемое формулой (5.1).

Так как уравнения системы § 22 имеют чисто локальную природу (относятся к некоторому определенному моменту времени то проведенный нами вывод этих уравнений остается в полной силе и в случае переменного параметра, только на место постоянного А, становится «мгновенное значение» этого параметра, вообще говоря, различное в различные моменты времени Таким образом, в качестве исходной системы уравнений для определения функций мы имеем

Полагая

мы из системы (24.1) в точности как в § 22 находим для производящей функции уравнение с частными производными

отличающееся от уравнения (22.1) только тем, что на месте постоянного параметра А, стоит теперь функция Это отличие, несущественное для вывода уравнения (24.2), в значительной мере влияет на его решение, заставляя нас обратиться к другой замене искомой функции. Положим во всем дальнейшем

где новая неизвестная функция. Производя эту замену в (24.2), мы легко находим для функции уравнение

в точности совпадающее с уравнением (22.2). В § 22 мы видели, что общим решением этого уравнения служит

где произвольная дифференцируемая функция своего аргумента. Отсюда

Теперь мы должны определить вид функции с помощью начальных данных Мы находим, как в § 23,

откуда, в частности,

где ряд заведомо сходится при Отсюда с помощью (24.3) мы получаем окончательное выражение производящей функции

В § 23 мы полагали

и убедились, что при

Эти выводы сохраняют силу и в нашем новом случае, так как новая функция ничем не отличается от прежней. Мы имеем в силу (24.5), (24.4) и (24.6)

и следовательно,

Допустим теперь, что при параметр остается ограниченным;

Тогда и

поэтому для любого постоянного при в сумме

все члены, кроме последнего стремятся к нулю, в то время как последний бесконечно мало отличается от Поэтому при и постоянном

т. е. закон распределения безгранично приближается к закону Пуассона с (переменным) параметром

Этим поставленная задача решена.