§ 5. Поток с переменным параметром

В этой книге мы будем изучать почти исключительно стационарные потоки вызовов. Однако для некоторых простейших задач решение в нестационарном случае настолько легко проводится и вместе с тем имеет столь ясное практическое значение, что было бы жаль оставить его совсем без рассмотрения. В частности, в настоящем параграфе мы подвергнем изучению потоки, не обладающие стационарностью, но являющиеся, подобно простейшему потоку, ординарными потоками без последействия. Мы сейчас более точно поясним смысл этих предпосылок.

Если поток не стационарен, то вероятность получить вызовов за промежуток времени длины зависит не только от но и от начального момента этого промежутка: поэтому мы будем обозначать ее через Таким образом, есть вероятность того, что за промежуток времени произойдет вызовов. По аналогии со стационарным случаем мы полагаем

Мы будем называть исследуемый поток ординарным, если при и любом постоянном имеет место соотношение

Далее мы должны допустить, что для любого существует

(мгновенное значение параметра).

Исходя из этих предпосылок, мы поставим себе задачей найти выражение функций Рассмотрим, как и прежде, сначала случай

Так как мы имеем дело с потоком без последействия, то при

но по предположению при и постоянных

следовательно,

это после почленного деления на в пределе приводит к соотношению

(причем существование производной, очевидно, попутно доказывается); отсюда же

и, следовательно,

В стационарном случае мы имели показателем — в общем случае, как мы теперь видим, нужно заменить величиной

которую естественно рассматривать как среднее значение «мгновенного параметра» в промежутке

Переходя теперь к случаю мы аналогично предыдущему [см. § 3] при и постоянных легко находим

где

и

так что

откуда

и следовательно, в пределе

Это соотношение, доказанное нами для любого О, остается, как показывает (5.2), верным и при если положить

Мы найдем нужное нам решение системы (5.3), применяя метод производящих функций. Положим

Умножая все члены уравнения (5.3) на и суммируя по к от 0 до мы находим в точной аналогии с § 3

или

откуда

При любых мы имеем

поэтому (5.4) дает

и сопоставление с определением функции дает

Эти формулы полностью решают поставленную задачу. Мы видим, что и для потока с переменным параметром число вызовов в промежутке подчиняется закону Пуассона; однако параметр этого закона теперь зависит не только от длины данного промежутка, но и от его начального момента . В случае стационарного потока мы имели закон Пуассона с параметром при переходе к нестационарному случаю мы должны, как виднм, заменить постоянное число К выражением

т. е. средним значением в промежутке

Обратно, если функция есть постоянная величина, то, очевидно, при любом

и формулы (5.5) переходят в решения, полученные намн в § 3 для стационарного случая.

Заметим, наконец, что число вызовов в промежутке подчиняясь закону Пуассона (5.5), имеет своим математическим ожиданием параметр этого закона, т. е. величину

поэтому величину можно понимать как среднюю интенсивность нашего потока в промежутке предел же этой величины при есть мгновенная интенсивность данного потока в момент мы находим

Таким образом, и в случае простейшего потока с переменным параметром мы имеем совпадение мгновенной интенсивности потока с мгновенным значением параметра.