Глава 7. ЗАДАЧА ЭРЛАНГА ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОГО ПУЧКА

§ 22. Уравнение для производящей функции

Если число линий в пучке бесконечно, то рассматриваемую установку нельзя уже причислять к «системам с потерями», так как потери становятся невозможными. Расчет вероятностей различных состояний сохраняет, однако, практическое значение и в этом случае, так как на практике встречаются такие положения, когда потери недопустимы и число линий должно быть достаточно большим для того, чтобы вероятность потери оказалась пренебрегаемо малой; в таких случаях вероятности различных состояний дают возможность оценить степень использования системы, что в свою очередь имеет значение для расчета быстроты износа и других экономических показателей.

Если в формулах Эрланга (20.3) перейти к пределу при то мы получаем

можно поэтому предвидеть, что это пуассоновское распределение и даст нам вероятности различных состояний в случае бесконечного пучка. Однако метод, которым мы пришли к формулам (20.3), в случае бесконечного пучка оказывается неприменимым, так как теорема Маркова, на которой он основан, существенным образом предполагает число состояний конечным. Мы покажем, что случай бесконечного пучка может быть очень просто изучен методом производящих функций.

Те рассуждения, которые привели нас в § 20 к системе уравнений Эрланга, сохраняются почти полностью и в случае бесконечного пучка. Различие состоит, очевидно, лишь в том, что группа уравнений системы построенная

нами в § 20 для теперь имеет место для любого последнее же из уравнений системы отпадает совсем. Таким образом, мы получаем для вероятностей различных состояний в случае бесконечного пучка систему уравнений

Эту систему можно считать более простой, чем система так как здесь для всех мы ямеем уравнения одинакового типа; именно это обстоятельство и позволяет применить к решению системы метод производящих функций (к системе непосредственно применен быть не может). Положим

[ряд, очевидно, сходится при и любом ]; положим еще для

тогда система уравнений получает более краткий вид:

Отсюда

или

Это простое уравнение с частными производными первого порядка и послужит нам для определения функции Прежде всего мы его еще несколько упростим преобразованием неизвестной функции. Положим

где -новая неизвестная функция. Мы будем иметь

вследствие чего

и уравнение (22.1) равносильно уравнению

Положим теперь

и составим функциональный определитель

уравнение (22.2) равносильно уравнению

и значит, общим решением его служит соотношение

где произвольная дифференцируемая функция своего аргумента. Для искомой функции мы отсюда находим выражение

Это — общее решение уравнения (22.1). Для решения нашей задачи мы должны с помощью начальных данных определить вид функции