О СРЕДНЕМ ВРЕМЕНИ ПРОСТОЯ СТАНКОВ

1. Решаемая в настоящей статье общая задача имеет значение для всех тех отраслей промышленности, где наблюдению одного рабочего одновременно поручается несколько станков (или других установок) одинакового типа, причем функция рабочего состоит в выполнении операций, надобность в которых для каждого отдельного станка возникает в случайном порядке (ликвидация неполадок, мелкий ремонт и т. п.).

Момент, в который станок начинает требовать той или иной операции, мы будем называть моментом его остановки. Время, требующееся для совершения той или другой операции, может быть различным для различных операций и допускать какие угодно вариации для одной и той же операции. В дальнейшем мы принимаем следующие обозначения: — число станков, поручаемых одному рабочему; вероятность того, что станок, работающий в момент остановится ранее момента предполагается весьма малым); относительное число операций, для которых потребное время заключено между

Эти три элемента являются данными. Ищется среднее время ожидания у, т. е. среднее значение промежутка времени, протекающего от момента остановки до начала соответствующей операции; при этом предполагается, что рабочий обслуживает станки в порядке очереди, т. е. в порядке их остановок.

В качестве вспомогательных величин нам понадобятся следующие:

средняя длительность одной операции, число остановок одного станка в единицу времени;

вероятность того, что станок, работающий в момент не остановится до момента

— относительное число остановок, происходящих в такие моменты, когда число уже стоящих станков равно

Все эти величины могут быть определены из данных нашей задачи.

Следует заметить, что формулами, которые даются в настоящей статье, целесообразно пользоваться лишь для небольших значений А, (в пределах 1—2 десятков). При большем числе станков можно с успехом применять, в порядке приближения, значительно более простые методы расчета, которые нами установлены в другой статье.

2. Единицу времени, которая может быть выбрана произвольно, целесообразно принять весьма большою; для краткости условимся называть ее часом.

Для средней длительности операции мы, очевидно, имеем формулу:

Определим, далее, функцию для этого заметим, что, очевидно,

откуда

или

причем очевидное условие дает так что

Вероятность же того, что станок, работающий в начале некоторого промежутка длины остановится в течение этого промежутка, равна

и далее, вероятность того, что для стайка, работающего в момент первая остановка последует в течение малого промежутка времени равна

отсюда мы можем определить среднее значение рабочего периода стайка, т. е. времени, протекающего от момента пуска (конца операции) до ближайшей остановки:

Заметим, что практически величину лучше всего находить именно из этой формулы, так как средний рабочий период станка легко поддается непосредственному измерению.

3. Теперь мы можем перейти к установлению формулы, определяющей среднее время ожидания у. С этой целью заметим, что рабочий час для каждого станка слагается из чередующихся периодов трех различных категорий: рабочий период средней длины период ожидания (средней длины и период операции (средней длины Так как мы обозначили через а число остановок станка в течение часа, то

В этом уравнении, кроме у, неизвестно еще и я. Поэтому мы должны искать второе соотношение, связывающее те же неизвестные. С этой целью заметим, что для рабочего его рабочий час слагается из чередующихся периодов двух категорий — периодов занятости и периодов свободы. Сумму длин всех периодов занятости легко найти. Число станков равно каждый станок требует в час операций, средняя длительность операции равна Отсюда время загрузки рабочего равно Сложнее найти время, в течение которого рабочий свободен. Заметим прежде всего, что число моментов освобождения рабочего, очевидно, равно числу моментов, когда он от свободного состояния переходит к работе (так как моменты этих двух категорий строго чередуются). Но второе число есть, вместе с тем, число

остановок, происходящих в периоды, когда все остальные станки работают (и потому рабочий свободен). Согласно нашим обозначениям это число есть таково, следовательно, число периодов свободы для рабочего. Что касается средней длительности такого периода, то она может быть найдена из следующих соображений. Если в данный момент все станки работают, то вероятность того, что и по истечении времени все они еще будут работать, равна вероятность же того, что какой-нибудь из них остановится в промежуток времени равна (пренебрегая малыми высших порядков) Следовательно, вероятность того, что длительность данного периода свободы для рабочего будет заключена между и равна а значит, средняя длительность периода свободы рабочего есть

Отсюда сумма длин всех периодов свободы равна

и мы получаем соотношение

Исключая из уравнений (1) и (2), мы находим:

Этот результат полностью решал бы поставленную задачу, если бы было нам известно. Определение величины которому будет посвящено все дальнейшее, и составляет в сущности, математическое содержание предлагаемого решения, так как все предшествующее было элементарным расчетом.

4. Число представляющее собою, по определению, относительное число остановок, в момент которых число стоящих станков увеличивается с до очевидно, есть, вместе с тем, относительное число таких операций, в конце которых число стоящих станков уменьшается

с до Обозначим через вероятность того, что в течение операции, в начале которой число стоящих станков равно к, остановится еще станков. Для того чтобы некоторая операция началась без предварительного ожидания (вероятность ), необходимо и достаточно, чтобы: 1) предшествующая операция началась в отсутствии ожидающих (вероятность и 2) в течение этой операции ни одни стаиок не остановился (вероятность Отсюда:

Подобным же образом, если , то для того, чтобы какая-либо операция началась в момент, когда число стоящих станков уменьшается с до (вероятность необходимо и достаточно, чтобы: либо предшествующая операция началась в момент, когда число стоящих станков уменьшается с (вероятность и в течение этой операции не произошло ни одной остановки (вероятность либо предшествующая операция началась в момент, когда число стоящих станков уменьшается с до (вероятность и в течение этой операции остановился один станок (вероятность либо, наконец, чтобы предшествующая операция началась в отсутствии ожидающих (вероятность и в течение этой операции произошло остановок (вероятность Таким образом мы находим:

Наконец, в случае мы аналогичным рассуждением находим:

Если предполагать все величины известными, то, очевидно, из уравнений (3) и (4) можно последовательно выразить все як линейно через уравнение (5) представляет собою следствие соотношений (3) и (4) и новых результатов

не дает, но очевидное соотношение

позволяет определить и

Таким образом, задача сводится к определению коэффициентов что может быть сделано без затруднений. В самом деле, если данная операция длится часов и если в начале этой операции стоят к станков, то вероятность того, что в течение этой операции из А, — к работающих станков остановятся ровно очевидно, есть

А так как вероятность того, что данная операция будет иметь длительность, заключенную между есть то

что и решает задачу.

5. Зиая среднее время простоя, мы без труда можем решать все вопросы, связанные с наиболее выгодным распределением станков между рабочими. Для практических расчетов, основанных на изложенной теории, необходимо, разумеется, создать специальный аппарат в виде номограммы или таблицы, что, вероятно, не представит затруднений. Теоретически же задача приведенными нами соображениями решается до конца.