§ 30. Преобразование Лапласа
С целью решения основной системы уравнений (29.1) мы теперь заменим искомые функции 
их преобразованиями Лапласа. Положим
Напишем уравнение (29.1) в виде
умножим обе части на 
и проинтегрируем по 
от 0 до 
Это дает
Интеграция по частям легко дает
и, следовательно,
поэтому из (30.1) мы получаем
откуда
Таким образом, для определения функций 
получаем простую рекуррентную формулу. Так как 
то
и соотношение (30.2) позволяет последовательно определить все функции 
. В частности, мы непосредственно видим, что все эти функции рациональны. Однако мы не можем удовлетвориться этим, так как для обратного перехода к функциям 
нам важно более детально знать свойства рациональных дробей 
. В частности, для этого обратного перехода существенное значение имеет разложение функций 
на простые дроби и, следовательно, природа и расположение корней их знаменателей. Этими вопросами мы и должны будем теперь заняться.
Заметим еще, что простым преобразованием искомых функций
мы можем привести рекуррентные формулы (30.2) к более краткому виду:
впрочем, в дальнейшем мы этим замечанием пользоваться не будем.
