§ 21. Эргодическая теорема

Любая вероятность в любой теории получает реальный смысл лишь в том случае, если известна реальная совокупность объектов, в которой эта вероятность интерпретирует собой долю того или другого признака. Каков же реальный смысл тех вероятностей которыми мы занималась в последних параграфах? Что означает, в частности, «вероятность потери»

В подавляющем большинстве специальных исследований реальная интерпретация этих вероятностей носит один и тот же вполне определенный характер: их истолковывают как средние относительные времена пребывания системы в соответствующих состояниях. Это означает следующее. Обозначим через величину, равную I, если система в момент находится в состоянии и равную в противном случае. Тогда интеграл

представляет собой суммарную длину тех промежутков времени (между 0 и ), в течение которых система находится в состоянии к, а отношение

дает нам среднее относительное время пребывания системы в состоянии (за промежуток времени Под вероятностью застать систему в состоянии понимают тогда предел

Представляется, однако, очевидным, что определенные нами в предшествующих параграфах величины непосредственно не допускают подобного истолкозания. Это видно уже из того, что величина представляет собой с принятой нами точки зрения случайную функцию (случайный

процесс), а следовательно, предел (21.1) (если он существует) - случайную величину, которая поэтому не может отождествляться с вероятностью по сущности своей, не зависящей от случая. С другой стороны, вероятности нами определены как пределы при вероятностей если все вероятности понимать как средние времена пребывания системы в том или ином состоянии, то величины не допускают, как легко видеть, никакой разумной интерпретации.

Таким образом, избранное нами определение вероятностей а также и развитый иами метод их вычисления непосредственно не дают никаких оснований для отождествления их с пределами вида (21.1) вопреки установившейся во всей прикладной литературе практике. Если это отождествление невозможно, то все же с практической точки зрения прздставляется весьма желательным найти соображения, позволяющие с известным основанием считать интегралы

при больших значениях хотя бы приближенно совпадающими с определенными нами вероятностями если бы это удалось, то такое сближение в значительной степени оправдало бы общепринятую в специальной литературе практику понимания вероятностей как средних относительных времен пребывания — практику, очень удобную в прикладных задачах.

Так как есть с нашей точки зрения случайная величина, то близость ее к не зависящей от случая величине при самых благоприятных обстоятельствах может утверждаться лишь с некоторой (достаточно большой) вероятностью. В настоящем параграфе мы докажем предложение, идущее в указанном направлении так далеко, как только можно было бы надеяться; именно, имеет место

Теорема, как бы мало ни было

Предварительное замечание. Предложения подобного рода, в которых вероятность некоторого состояния системы, первоначально определенная как доля в большой

совокупности систем одинакового строения, сближается затем со средним временем пребывания в данном состоянии для какой-либо одной системы за большой промежуток времени, в теоретической физике называются обычно эргодическими теоремами. Доказываемое нами предложение представляет собой весьма типичный пример эргодической теоремы.

Доказательство. Во всем дальнейшем начальные данные (вероятности предполагаются произвольными, но твердо установленными. Математическое ожидание случайной величины мы будем обозначать через или Так как величина может принимать значения 1 и 0 с соответственными вероятностями то

Так как

Поэтому при достаточно большом

Отсюда, применяя неравенство Чебышева, находим в силу (21.2)

Так как величина может принимать лишь значения 1 и 0, то есть вероятность застать систему в состоянии как в момент и, так и в момент поэтому при

и мы находим

Пусть теперь произвольно мало и А настолько велико, что при

Тогда при

и следовательно,

Поэтому при

Беря сначала достаточно малым, выбирая затем А описанным выше образом и беря, наконец, достаточно большим, мы видим, что правая часть последнего неравенства сколь угодно мала при достаточно большом Этим наша теорема доказана.