Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ПОТОКИ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ БЕЗ ПОСЛЕДЕЙСТВИЯ§ 1. Постановка задачиПоток однородных случайных событий представляет собой случайный процесс Поток событий называется стационарным, если закон распределения вектора —
Если к требованиям стационарности и отсутствия последействия добавить еще условие
то, как известно ([1], глава 1),
распределение величины Недавно Редхеффером [2] и автором ([1], § 8) найдена общая форма стационарных потоков без последействия без дополнительного требования За последнее время, с одной стороны, обнаружилось, что для приложений имеет значение исследование потоков без последействия весьма общего вида. С другой стороны, удалось найти методы, сделавшие возможным исследования такого рода для некоторых специальных задач (см., например, рассмотрение известной задачи Эрланга у Пальма [3] или у автора [1], § 24; см. также работу Такача [4] о дробовом эффекте). Поэтому естественно встает вопрос об общей форме потоков без последействия. Настоящая работа имеет целью дать ответ на этот вопрос; полученное решение задачи можно признать удовлетворительным, так как все элементы произвола искомой структуры выявлены в нем с исчерпывающей ясностью. Пусть Если
всегда определяют некоторый поток без последействия, ведущая функция которого совпадает с § 2. Леммы о финитных потокахДля решения поставленной задачи Лемма 1. При Доказательство. Очевидно, разность
и, следовательно,
Лемма 2. При
Доказательство. Положим для
Так как
В силу соотношения Условимся называть точку (момент времени) Лемма 3. Все точки непрерывности функции Доказательство. Так как
то в случае
что доказывает первое утверждение леммы 3. Далее, при
Пусть
тогда и подавно при
и, следовательно,
Но здесь
Если
поэтому при достаточно малом
и неравенство (4) дает при достаточно малом
следовательно, Лемма 4. Финитный поток может иметь не более счетного множества сингулярных точек. Доказательство непосредственно вытекает из леммы 3. Лемма 5. Пусть Доказательство. Пусть
наступит по меньшей мере одно событие потока
Аналогичным образом находим для любого натурального числа
Пусть теперь
где Условимся во всем дальнейшем называть финитный поток регулярным, если он не имеет ни одной сингулярной точки, так что любое является для него регулярной точкой. Тогда из леммы 3 непосредственно следует Лемма 6. Необходимым и достаточным условием регулярности потока служит непрерывность его ведущей функции. Наконец, Лемма 7. Если и данный поток — регулярный, то равномерно в отрезке
Доказательство. В силу леммы 1
и утверждение леммы 7 вытекает из равномерной непрерывности функции § 3. Леммы о регулярных потоках без последействияЛемма 8. Для любого регулярного потока без последействия и любых
Доказательство. Допустим, что продолжеиие этого процесса известным образом приводит нас к точке обладающей следующим свойством: при любом Условимся во всем дальнейшем называть функцию
(где ряд в правой части при любых
функции
и, следовательно,
что в свою очередь имеет следствием
Поэтому, если положить
Для установления общего вида регулярного потока без последействия имеют существенное значение свойства функций Лемма 9. При
здесь положено
Соотношение (8) представляет собою элементарную формулу дифференциального исчисления, имеющую место для любой Лемма 10. Пусть
Предварительное замечание. В силу леммы 8 в правой части (9) все знаменатели отличны от нуля. Доказательство. Входе последующего рассуждения мы под Так как в силу (7)
то соотношение (8) при
Так как, очевидно,
где область суммирования определяется соотношениями
а коэффициенты
Чтобы доказать лемму
стремится к нулю при С этой целью заметим прежде всего, что при становится пустой (второе слагаемое правой части (11). Поэтому мы допустим, что Обратимся теперь к исследованию величины
и, следовательно,
Но при
и следовательно,
в то время как при Пусть, например, такими будут индексы
Так Лемма 11. При
сходится при любых
Доказательство. Первое утверждение непосредственно вытекает из леммы 10, в силу которой
[последнее равенство вытекает из того, что в силу леммы
чем доказано и третье утверждение леммы 11. Лемма 12. Каждая функция Доказательство. Допустим, что для некоторого
Так как все функции
Но
Поэтому при достаточно малом
или
где
что противоречит допущению о регулярности данного потока. Этим лемма 12 доказана. § 4. Общая форма регулярных потоков без последействияЛеммы § 3 в своей совокупности показывают, что производящая функция
где функции 1° Все функции 2° При любом 3° Ряд 4° Сумма Теперь мы докажем обратное предложение: если Так как в силу свойства 2° разность
Р) означает вероятность того, что в промежутке
легко проверяется непосредственным подсчетом. Производящая функция потока
Рассмотрим теперь суперпозицию
В самом деле, если положить
(этим соотношением определяется число
где суммирование распространяется на область
Но в силу взаимной независимости потоков в промежутке Но в силу свойства 4° мы имеем
Этим показано, что данная функция В силу свойства 3° для любых
Так как поток
Но при
[так как
Поэтому для суммарного потока мы получаем при
Мы можем, таким образом, сформулировать результаты §§ 3 и 4 в виде следующего предложения. Теорема Посмотрим теперь еще, какой вид принимает общая форма (12) для некоторых известных классов потоков без последействия. 1. Пусть данный поток при любом а 0 удовлетворяет требованию
Тогда формула (9) леммы 10 легко дает
откуда в силу свойства 4°
и формула (12) получает вид
Это — давно известный результат (см. [1], стр. 17, или [6], стр. 183). 2. Пусть данный поток — стационарный; положим
тогда формула (9) леммы 10 дает при любом
и формула (12) получает вид
Это полиостью совпадает с формулой (8.6) ([11, стр. 31) и является известным результатом Peдxeффepa [2] и автора. § 5. Общая форма финитных потоков без последействияДо сих пор мы рассматривали только регулярные потоки, т. е. такие, ведущая функция конечна, но может быть как угодно разрывной. Как мы знаем из § 2, точки разрыва функция Условимся теперь называть поток 1) События потока 2) Числа событий, падающих на различные ступени, представляют собою взаимно независимые случайные величины. 3) Пусть
Свойство 2) выражает собой отсутствие последействия, а свойство Пусть теперь Докажем в первую очередь регулярность потока подавно — для потока Что касается потока
Пусть поток
Так как
Поэтому соотношение (16) при
Резюмируя результаты настоящего параграфа, мы приходим к следующему предложению. Теорема II. Всякий финитный поток без последействия может рассматриваться как суперпозиция двух взаимно независимых потоков того же типа, из которых один — регулярный, а другой — сингулярный; ступенями Непосредствеиио очевидно, что и обратно — любая суперпозиция описанного типа представляет собою некоторый финитный поток без последействия. Теоремы 1 и II вместе взятые дают легко обозримое описание совокупности всех финитных потоков случайных событий без последействия, что и было целью настоящего исследования. ЛИТЕРАТУРА(см. скан)
|
1 |
Оглавление
|