Глава 3. ФУНКЦИИ ПАЛЬМА

§ 9. Определение и доказательство существования

После того как в конце предыдущей главы мы полностью выяснили строение стационарных потоков без последействия, мы должны теперь обратиться к исследованию потоков более общего типа. Для довольно широких классов таких потоков весьма удобным орудием исследования оказалась одна функция, введенная Пальмом [8] и примененная им с успехом к решению ряда задач. Пальм определяет эту функцию (для любого стационарного потока) как условную вероятность отсутствия визовое в промежутке если известно, что в момент произошел вызов. Однако такое определение вряд ли можно считать достаточно удобным; то условие, при котором должна быть вычислена вероятность т. е. наличие вызова в некоторый момент само имеет во всех актуальных случаях вероятность 0, и это обстоятельство, как известно, не позволяет непосредственно определить функцию для заданного потока с помощью известных правил расчета условных вероятностей. Поэтому мы дадим этой функции другое, более сложное определение, которое позволит однозначно определять ее для любого стационарного потока. Вместе с тем мы определим не одну функцию, а целую последовательность функций, которые будем называть функциями Пальма и которые в дальнейшем окажутся нам полезными при решении ряда важных задач.

Пусть мы имеем два последовательных промежутка времени, из которых первый имеет длину а второй дальнейшем мы будем для краткости называть самые эти промежутки соответственно «промежутком » и «промежутком Обозначим для данного стационарного потока через вероятность следующего двойного события:

1) в промежутке произойдет по меньшей мере один вызов;

2) в промежутке произойдет не более вызовов. Эти два события, вообще говоря, будут взаимно зависимы; так как вероятность события 1) в наших старых обозначениях есть то отношение

выражает собою условную вероятность события 2) при условии, что имело место событие 1), т. е. вероятность появления не более вызовов в промежутке при условии, что в промежутке появился по меньшей мере один вызов.

Если это отношение при (и при постоянном стремится к некоторому пределу, то этот предел естественно называть условной вероятностью появления не более чем вызовов в промежутке при условии, что в начальный момент этого промежутка произошел вызов.

Убедимся теперь, что предел отношения (9.1) при (и постоянном всегда существует, если только данный стационарный поток имеет конечный параметр . С этой целью рассмотрим сначала отношение Чтобы доказать существование предела этого отношения при достаточно убедиться, что величина как функция от удовлетворяет всем предпосылкам леммы § 7. Неотрицательность и монотонность этой функции самоочевидны. Пусть и промежуток предшествует промежутку Тогда, если выполнено то двойное событие, вероятность которого мы обозначили то, очевидно, выполняется по меньшей мере одно из следующих двух событий:

В промежутке имеется по меньшей мере один вызов, в промежутке имеется не более вызовов [вероятность события равна

В промежутке имеется по меньшей мере один вызов, в промежутке имеется не более к вызовов

[вероятность события равна как при фиксированном очевидно, есть невозрастающая функция от Таким образом, мы находим

т. е. функция удовлетворяет (относительно ) и последней предпосылке леммы § 7. Применяя эту лемму, мы находим, что отношение при стремится к некоторому пределу или безгранично возрастает; однако последний случай исключается, так как, очевидно, всегда а отношение по нашему предположению стремится к конечному пределу .

Наконец,

числитель и знаменатель этой дроби по доказанному стремятся при к определенным пределам; поэтому и

существует; разумеется, этот предел является функцией от Положим теперь

очевидно, есть вероятность того, что 1) в промежутке имеется по меньшей мере один вызов и 2) в промежутке имеется ровно вызовов; отношение представляет собой условную вероятность иметь вызовов в промежутке при условии, что в промежутке имеется по меньшей мере один вызов. Из (9.2) следует

Полагая

мы имеем

Функции мы и будем называть функциями

Пальма. Функция может быть понимаема как вероятность иметь вызовов в промежутке длины при условии, что в начальный момент этого промежутка произошел вызов. Этим она отличается от функции представляющей собою вероятность того же события при условии, что относительно начального момента ничего неизвестно. Проведенное нами рассуждение показывает, что вся совокупность функций Пальма однозначно определяется для любого стационарного потока с конечным параметром

Заметим еще, что так как относительно есть функция невозрастающая, от не зависит, то все функции [в частности, функция — невозрастающие в области