§ 8. Полное отражение

В предыдущих двух разделах граничные условия удовлетворялись с помощью соотношений типа (2.45) между скоростями волн в обеих средах и углами падения, отражения и преломления. Однако, когда скорость распространения отраженной или преломленной волны больше скорости падающей волны, должен существовать критический угол падения, при котором угол отражения или преломления становится равным Для углов падения, больших этого, соотношение перестает быть верным и положение становится подобным тому, которое известно как полное внутреннее отражение в оптике.

В случае свободной границы это наступает только для волны искажения, падающей под углом, синус которого больше Для волны, падающей на границу раздела двух сред, существует также критический угол падения и по отношению к преломлению волн; так, если больше падающая волна расширения будет порождать волну расширения во второй среде только в том случае, когда синус угла падения меньше Для углов падения, больших критического, задачу надо решать, как и в оптике, с помощью функций комплексного переменного. Найдено, что в случае отраженной или преломленной плоской волны возникает возмущение, убывающее по экспоненциальному закону с расстоянием от границы раздела. Эта волна не уносит энергию от границы, и энергия падающих волн делится между отраженной и преломленной волнами. Наличие этой затухающей волны приводит, однако, к изменению в фазе в других возникающих волнах.

Чтобы проиллюстрировать случай полного отражения, рассмотрим вновь простейший случай плоской гармонической волны искажения, падающей на свободную границу (фиг. 7). Пусть, как и ранее, волна распространяется параллельно плоскости причем колебания происходят в этой плоскости. Пусть угол падения равен и пусть волна расширения отражается под углом так что

Если перемещение, производимое падающей волной параллельно ее фронту, обозначить соответствующее перемещение для отраженной волны искажения а для отраженной волны расширения то

где

и

где

Далее, если то становится больше единицы; значит, а чисто мнимый и можно приравнять — где Значит, становится равным Это соответствует волне, амплитуда которой убывает по экспоненциальному закону с расстоянием от поверхности раздела и фаза которой не зависит от х. Амплитуда отраженной волны искажения становится равной амплитуде падающей волны, т. е. и для удовлетворения граничным условиям не может принимать значения или и является функцией и

Как упоминалось ранее, полученные соотношения между амплитудами, направлениями и фазами падающей, отраженной и преломленной синусоидальных волн не зависят от длины волны и могут быть использованы независимо от формы волны. Однако когда возникает полное отражение, это уже не имеет места и анализ становится очень сложным. Фридлендер [35] рассмотрел задачу о плоской волне искажения произвольной формы, падающей на границу раздела, когда угол падения превышает критическое значение