Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 4. Принцип суперпозиции
Если тело Максвелла деформировано на величину
и удерживается при этой деформации, то напряжение будет с течением времени ослабевать. Из уравнения (5.23) видно, что напряжение убывает по экспоненциальному закону, его значение в момент
будет
Больцман [12] обобщил это соотношение на материалы, для которых убывание напряжения происходит не обязательно по экспоненциальному закону. Он высказал мысль, что механическое поведение твердого тела является функцией его полной предшествующей истории, и предположил, что когда образец испытывает ряд деформаций, то действие каждой деформации не зависит от других и результирующее поведение можно вычислить путем простого сложения действий, которые имели бы место, если бы каждая деформация действовала одна. Это предположение стало известно как принцип суперпозиции. Больцман предположил, что сдвиг и объемное расширение могут релаксировать различным образом, так что для деформаций, таких, как одноосное растяжение, в которых имеет место то и другое, изучение явления сильно осложняется. Однако, если деформация происходит в форме кручения, когда имеется только сдвиг, или если тело таково, что эффект объемной релаксации мал, то анализ упрощается.
Предполагается, что если образец получил за время
деформацию величины
к моменту
то к моменту
от этого
возникнет остаточное напряжение
Функция
называется функцией памяти и является характеристикой материала и типа напряженного состояния. Полное напряжение о предполагается равным сумме элементарных напряжений, остающихся от полной предшествующей истории образца, и напряжения, соответствующего мгновенному значению деформации
в момент времени
Последнее напряжение обычно считается пропорциональным
но в общем случае оно записывается как
тогда зависимость между напряжением и деформацией принимает вид
Уравнение (5.38) представляет одну из форм принципа суперпозиции, в которой рассматривается задача о релаксации напряжения, причем напряжение в любой момент времени является функцией истории деформирования образца. Но можно ставить обратную задачу, т. е. рассматривать в качестве независимой переменной напряжение, а возникающую при этом деформацию выводить из известной истории напряжения (см., например, Лидерман [84]). Было показано (Гросс [45]), что оба подхода математически эквивалентны, и каким из них пользоваться — дело удобства.
Для тела Максвелла функция
а функция памяти
Уравнение (5.38) вследствие этого принимает вид
Значит, если первоначально недеформированный образец к моменту времени
получил деформацию
и деформация затем поддерживается при этом значении, то напряжение в момент времени
равно
что совпадает с результатом, полученным непосредственно из уравнения (5.23).
Для реальных тел
не может быть выражена простой экспоненциальной функцией, и лучшее согласие с экспериментальными результатами получается, если принять ее в виде нескольких экспоненциальных функций, каждая из которых имеет свое особое значение х. Такой подход эквивалентен рассмотрению механического устройства,
содержащего ряд максвелловских моделей, соединенных параллельно. В пределе функция памяти может быть представлена интегралом
Здесь
представляет "число" времен релаксации между
и модулей упругости, связанных с ними. Кривая
в функции х дает релаксационный спектр материала, который в общем случае легче, чем саму функцию памяти, увязать с микроскопическими процессами, порождающими релаксацию. Гросс [45] рассмотрел те математические преобразования, которые необходимы для определения функции
когда функция
известна.
Фиг. 27. Две эквивалентные механические модели. а — дополнительная пружина, включенная параллельно моделн Максвелла; б - дополнительная пружина присоединена последовательно к моделн Фохта.
Надо заметить, что в максвелловской модели напряжение асимптотически стремится к нулю, если поддерживать постоянное значение деформации. Это справедливо для любого числа максвелловских элементов, соединенных параллельно. Однако в реальных телах напряжение, вообще говоря, стремится к конечному значению, что может быть учтено в модели введением второй пружины в максвелловский элемент (см. фиг. 27, с). В случае уравнения Больцмана (5.33) это означает, что при неизменном значении
интеграл асимптотически стремится к значению
которое меньше чем
Зависимость между напряжением и деформацией для деформаций, которые поддерживаются в течение длительного времени, принимает вид
что соответствует зависимости между
при наличии дополнительной пружины.
Модель Фохта не обнаруживает релаксации напряжения, так как если деформация зафиксирована, то зафиксировано также и напряжение; если же к модели последовательно подключена вторая пружина (фиг. 27, б), то она становится эквивалентной максвелловской модели с последовательно включенной пружиной. Пусть на фиг. 27, а
жесткость пружины, последовательно соединенной с амортизатором, есть
что удлинение, производимое силой
равно
жесткость дополнительной пружины есть
и "вязкость" амортизатора равна (так что при приложении силы
удлинение происходит со скоростью
Чтобы получить для этой модели соотношение между приложенной силой
и деформацией
надо сложить силы, действующие в двух параллельных плечах. Если обозначить через
силу, действующую в плече, содержащем максвелловский "элемент", а натяжение дополнительной пружины через
то получим
и
Так как
из (5.41) и (5.42) будем иметь
Аналогично, если в модели на фиг. 27, б обозначить жесткости пружин через
и
а "вязкость" амортизатора через
и сложить деформации дополнительной пружины и фохтовского элемента, соединенного с ней последовательно, вновь получим зависимость между приложенной силой
и деформацией
Уравнения (5.43) и (5.44) эквивалентны, если
Механическое поведение этих двух типов моделей, таким образом, одинаково, и с математической точки зрения дело только удобства — какой моделью пользоваться.