§ 4. Принцип суперпозиции

Если тело Максвелла деформировано на величину и удерживается при этой деформации, то напряжение будет с течением времени ослабевать. Из уравнения (5.23) видно, что напряжение убывает по экспоненциальному закону, его значение в момент будет Больцман [12] обобщил это соотношение на материалы, для которых убывание напряжения происходит не обязательно по экспоненциальному закону. Он высказал мысль, что механическое поведение твердого тела является функцией его полной предшествующей истории, и предположил, что когда образец испытывает ряд деформаций, то действие каждой деформации не зависит от других и результирующее поведение можно вычислить путем простого сложения действий, которые имели бы место, если бы каждая деформация действовала одна. Это предположение стало известно как принцип суперпозиции. Больцман предположил, что сдвиг и объемное расширение могут релаксировать различным образом, так что для деформаций, таких, как одноосное растяжение, в которых имеет место то и другое, изучение явления сильно осложняется. Однако, если деформация происходит в форме кручения, когда имеется только сдвиг, или если тело таково, что эффект объемной релаксации мал, то анализ упрощается.

Предполагается, что если образец получил за время деформацию величины к моменту то к моменту от этого

возникнет остаточное напряжение

Функция называется функцией памяти и является характеристикой материала и типа напряженного состояния. Полное напряжение о предполагается равным сумме элементарных напряжений, остающихся от полной предшествующей истории образца, и напряжения, соответствующего мгновенному значению деформации в момент времени Последнее напряжение обычно считается пропорциональным но в общем случае оно записывается как тогда зависимость между напряжением и деформацией принимает вид

Уравнение (5.38) представляет одну из форм принципа суперпозиции, в которой рассматривается задача о релаксации напряжения, причем напряжение в любой момент времени является функцией истории деформирования образца. Но можно ставить обратную задачу, т. е. рассматривать в качестве независимой переменной напряжение, а возникающую при этом деформацию выводить из известной истории напряжения (см., например, Лидерман [84]). Было показано (Гросс [45]), что оба подхода математически эквивалентны, и каким из них пользоваться — дело удобства.

Для тела Максвелла функция а функция памяти Уравнение (5.38) вследствие этого принимает вид

Значит, если первоначально недеформированный образец к моменту времени получил деформацию и деформация затем поддерживается при этом значении, то напряжение в момент времени равно

что совпадает с результатом, полученным непосредственно из уравнения (5.23).

Для реальных тел не может быть выражена простой экспоненциальной функцией, и лучшее согласие с экспериментальными результатами получается, если принять ее в виде нескольких экспоненциальных функций, каждая из которых имеет свое особое значение х. Такой подход эквивалентен рассмотрению механического устройства,

содержащего ряд максвелловских моделей, соединенных параллельно. В пределе функция памяти может быть представлена интегралом

Здесь представляет "число" времен релаксации между и модулей упругости, связанных с ними. Кривая в функции х дает релаксационный спектр материала, который в общем случае легче, чем саму функцию памяти, увязать с микроскопическими процессами, порождающими релаксацию. Гросс [45] рассмотрел те математические преобразования, которые необходимы для определения функции когда функция известна.

Фиг. 27. Две эквивалентные механические модели. а — дополнительная пружина, включенная параллельно моделн Максвелла; б - дополнительная пружина присоединена последовательно к моделн Фохта.

Надо заметить, что в максвелловской модели напряжение асимптотически стремится к нулю, если поддерживать постоянное значение деформации. Это справедливо для любого числа максвелловских элементов, соединенных параллельно. Однако в реальных телах напряжение, вообще говоря, стремится к конечному значению, что может быть учтено в модели введением второй пружины в максвелловский элемент (см. фиг. 27, с). В случае уравнения Больцмана (5.33) это означает, что при неизменном значении интеграл асимптотически стремится к значению которое меньше чем Зависимость между напряжением и деформацией для деформаций, которые поддерживаются в течение длительного времени, принимает вид

что соответствует зависимости между при наличии дополнительной пружины.

Модель Фохта не обнаруживает релаксации напряжения, так как если деформация зафиксирована, то зафиксировано также и напряжение; если же к модели последовательно подключена вторая пружина (фиг. 27, б), то она становится эквивалентной максвелловской модели с последовательно включенной пружиной. Пусть на фиг. 27, а

жесткость пружины, последовательно соединенной с амортизатором, есть что удлинение, производимое силой равно жесткость дополнительной пружины есть и "вязкость" амортизатора равна (так что при приложении силы удлинение происходит со скоростью Чтобы получить для этой модели соотношение между приложенной силой и деформацией надо сложить силы, действующие в двух параллельных плечах. Если обозначить через силу, действующую в плече, содержащем максвелловский "элемент", а натяжение дополнительной пружины через то получим

и

Так как из (5.41) и (5.42) будем иметь

Аналогично, если в модели на фиг. 27, б обозначить жесткости пружин через и а "вязкость" амортизатора через и сложить деформации дополнительной пружины и фохтовского элемента, соединенного с ней последовательно, вновь получим зависимость между приложенной силой и деформацией

Уравнения (5.43) и (5.44) эквивалентны, если

Механическое поведение этих двух типов моделей, таким образом, одинаково, и с математической точки зрения дело только удобства — какой моделью пользоваться.