§ 1. Пластические волны в лагранжевых координатах

Остановим наше внимание на малом отрезке проволоки, который в момент был на расстоянии X от ее конца. Начальное положение возбуждаемого конца проволоки принимается за начало координат, а положительное направление оси берется вдоль проволоки. Если в момент перемещение отрезка есть и, то по второму закону движения Ньютона имеем

где плотность недеформированной проволоки и а — условное напряжение, т. е. сила, действующая на проволоку, поделенная на начальную площадь поперечного сечения.

Если теперь предположить, что зависимость между а и деформацией однозначна, когда напряжение возрастает, то на основании уравнения (7.1) можем записать

Здесь относительное удлинение элемента, т. е. причем не делается предположения, что обязательно мало. Далее, есть модуль деформации, упругой или пластической, который мы будем обозначать через рассматривается как известная функция от Уравнение (7.2) тогда дает

Граничные условия таковы: при для всех положительных значений при Задача состоит в решении уравнения (7.3) для материала, кривая напряжение — деформация которого и, следовательно, функция считаются известными. Имеется два решения уравнения (7.3). Как можно убедиться

непосредственной проверкой, функция

удовлетворяет уравнению (7.3) и граничному условию при причем это решение соответствует постоянной деформации

Другое решение может быть найдено, если приравнять Так как 5 является функцией это решение означает, что является функцией переменной которую мы обозначим через Предполагая теперь, что получим

(так как Дифференцируя (7.5) дважды по будем иметь

где производная от по аналогично

Подставляя из (7.6) и (7.7) в уравнение (7.3), находим

или

Соотношение (7.8) соответствует решению, определяемому формулой (7.4), а соотношение (7.9) соответствует решению, в котором

Для полного решения в проволоке надо различать три области:

а) от до деформация имеет постоянное значение причем С есть скорость распространения фронта пластической волны;

б) между имеет место соотношение есть скорость распространения упругой волны);

При имеет место разрыв деформации. S равно модулю продольной упругости упругом случае имеем

На фиг. 38 схематически показана зависимость между в трех областях, соответствующих

В области между фронтом упругой волны и фронтом пластической волны деформация переменная, так как каждое приращение ее от до распространяется со скоростью, зависящей от значения 5 при этом частном значении Чтобы закончить решение, надо найти зависимость между скоростью распространения фронта пластической волны С и скоростью с которой движется конец проволоки.

Фиг. 38. Схематический вид распределения деформаций.

Из уравнения (7.5) имеем для перемещения конца проволоки

или

Из фиг. 38 можно видеть, что интеграл, представляющий площадь под кривой, можно выразить следующим образом:

Значит, если 5 известно как функция то соотношение (7.11) дает зависимость между деформацией позади фронта пластической волны и скоростью движения конца проволоки, подвергнутого растяжению. Скорость распространения фронта пластической волны С можно затем получить с помощью кривой напряжение — деформация, так как эта скорость равна значению

Распределение напряжения а в проволоке можно вывести из распределения деформации причем имеется определенное значение

деформации которое соответствует пределу прочности при растяжении проволоки. Скорость соответствующая этому значению может быть найдена из соотношения (7.11); можно ожидать, что проволока разрушится мгновенно, если концу ее сообщить скорость, превышающую это критическое значение.