§ 6. Отражение упругих волн от свободной границы

В предыдущих разделах было показано, что в твердой среде могут распространяться два типа упругих волн. Установлено, что при падении волны любого типа на границу двух сред происходит как отражение, так и преломление. В более общем случае возникают четыре различные волны; волна каждого типа отражается, и волна каждого типа преломляется.

Вначале мы покажем, что при отражении плоской волны расширения от свободной поверхности (в идеальном случае — от границы вакуума, где не могут возникнуть преломленные волны) граничные условия не могут быть удовлетворены в предположении, что отражается только волна расширения. Затем перейдем к разысканию амплитуды и направления дополнительной отраженной волны искажения, которая необходима для удовлетворения этим граничным условиям.

Пусть направление распространения падающей волны расширения в плоскости составляет угол с осью х, а свободной границей является плоскость (фиг. 5). Рассмотрим простую гармоническую волну, в которой перемещение, перпендикулярное к фронту волны, есть тогда можно положить

где амплитуда волны,

— скорость распространения волн. (Здесь взята волна, распространяющаяся в направлении убывающих х и у.) Если и перемещения для этой волны, параллельные направлениям соответственно, то

Фиг. 5. Отражение волны расширения от свободной границы. Жирными ромбиками помечены волны расширения, штрихом — волна искажения.

Далее, пусть отраженная волна расширения составляет угол с осью х и ее перемещение, перпендикулярное к фронту волны, есть Тогда

где

постоянная, учитывающая изменение в фазе волны при отражении, амплитуда. Если и перемещения, производимые отраженной волной, то

На свободной границе должны быть равны нулю для всех значений Обозначим через и к полные перемещения, производимые падающей и отраженной волнами; из уравнения (2.3) имеем

(Так как, по предположению, перемещения в направлении отсутствуют, то

Подставляя вместо и в выражение для вместо в выражение получим (после дифференцирования и

перегруппировки членов)

где

При подстановке и это выражение упрощается:

Из условия на границе после подстановки значений получаем

Это уравнение может удовлетворяться при любых значениях только в том случае, когда (т. е. ) или Оба решения, конечно, эквивалентны друг другу и соответствуют изменению в фазе на при отражении.

Если мы теперь рассмотрим второе условие, означающее, что на границе не должно быть касательных напряжений, и таким же путем подставим в выражение для то получим

после преобразований это дает на границе

Однако написанное выражение не равно нулю при условиях, которые необходимы для обращения в нуль (т. е. значит, если мы примем, что отражается только волна расширения, то мы не сможем удовлетворить обоим граничным условиям — условиям отсутствия касательных и нормальных напряжений. Если же мы предположим, что, кроме того, отражается еще и волна искажения, то окажется возможным удовлетворить обоим граничным условиям. Пусть направление распространения отраженной волны искажения образует угол с осью х (фиг. 5) и пусть перемещение, производимое ею, есть тогда

где

скорость распространения волн искажения, постоянная, учитывающая изменение в фазе при отражении. Колебания этих волн сдвига будут поперечными и должны происходить в плоскости так как мы предположили, что движения в направлении z нет. Если обозначить добавочные перемещения от этой волны через то

Рассмотрим теперь условие отсутствия напряжения сдвига на границе оно требует

где

Подставляя значения получим

Производя замену всех входящих сюда функций через соответствующие им выражения, будем иметь

Это уравнение может удовлетворяться для всех значений только при т. е. при

отсюда получаем

Таким образом, волна расширения отражается под углом, равным углу падения, а отражение волны искажения подобно преломлению света, причем "коэффициент преломления" равен отношению скорости волны расширения к скорости волны искажения, т. е. Мы должны также положить и равными нулю или если принять, что они равны нулю, после подстановки значения получим соотношение между амплитудами:

Теперь можно видеть, что условие отсутствия нормального напряжения на границе также удовлетворяется. Имеем

что после подстановки дает при

Если, как прежде, то это выражение будет равно нулю для всех значений при выполнении условия для амплитуд:

Подставляя из соотношения перепишем это условие в виде

Из уравнений (2.41) и (2.42) можно подсчитать амплитуды двух отраженных волн, и, так как эти уравнения приложимы к гармоническим волнам любой частоты, они справедливы также для волн произвольной формы. При нормальном падении и отраженных

волн искажения не возникает. Амплитуда отраженной волны расширения равна в этом случае амплитуде падающей волны, а фаза при отражении от границы изменяется на

На фиг. 6 значения отношений и нанесены в функции угла падения для материала с пуассоновым отношением, равным 1/3. Отношение равно и из уравнения (2.5) видно, что при этом значении Графики показывают, что амплитуда отраженной волны искажения достигает максимума при угле падения около 48° и это максимальное значение больше амплитуды падающей волны. Амплитуда отраженной волны расширения достигает минимума при угле падения около при касательном падении отраженных волн искажения нет, снова становится равным единице. Надо заметить, что поток энергии волны искажения меньше, чем поток энергии волны расширения при той же амплитуде перемещения (отношение потоков энергии равно и что вместе с тем, так как волна искажения отражается с меньшим углом, чем угол падения волны расширения, ширина отраженного луча волны искажения больше ширины падающего луча волн расширения и, следовательно, плотность энергии будет этим уменьшаться. Если принять это во внимание, то из фиг. 6 найдем, что сумма энергий двух отраженных волн равна энергии падающей волны расширения.

Рассмотрим, наконец, отражение волны искажения, падающей на свободную границу. Как и прежде, имеем плоскую волну, распространяющуюся параллельно плоскости и падающую на плоскую границу, совпадающую с плоскостью Пусть угол падения есть (фиг. 7). Чтобы решить эту задачу, надо уточнить направление колебаний в волне. Перемещение, возникающее от любой волны

искажения, можно рассматривать как результат наложения двух составляющих волн, направления колебания в которых образуют прямой угол. Значит, достаточно определить условия отражения волны с колебанием, параллельным оси и волны с колебаниями в перпендикуляром к z направлении.

Фиг. 6. Амплитуды отраженных волн расширения и искажения при различных углах падения для

Условия для любого другого направления колебаний можно тогда найти, комбинируя полученные результаты.

Граничные условия, которым надо удовлетворить, следующие:

Для волны с направлением колебаний, параллельным оси движения в направлениях и у нет, так что Значит, волна искажения такой же амплитуды и противоположной фазы, отражающаяся под углом, равным углу падения, удовлетворяет граничным условиям, и волна расширения не возникает.

Для волны искажения с направлением колебаний, перпендикулярным оси z, решение аналогично тому, которое уже описано для падающей волны расширения. Здесь нет движения в направлении оси z, и соответствующие условия на границе суть Оказывается, что этим условиям можно удовлетворить только в предположении, что отражается не только волна искажения, но и волна расширения. Волна искажения отражается под углом, равным углу падения, а волна расширения отражается под углом причем Если амплитуда падающей волны искажения равна отраженной волны искажения и отраженной волны расширения то условие при дает

Фиг. 7. Отражение волны искажения от свободной границы.

С другой стороны, из условия при имеем

Из этих уравнений при любом угле падения можно найти и причем видно, что в случае нормального падения и отраженной волны расширения нет.