Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 6. Отражение упругих волн от свободной границыВ предыдущих разделах было показано, что в твердой среде могут распространяться два типа упругих волн. Установлено, что при падении волны любого типа на границу двух сред происходит как отражение, так и преломление. В более общем случае возникают четыре различные волны; волна каждого типа отражается, и волна каждого типа преломляется. Вначале мы покажем, что при отражении плоской волны расширения от свободной поверхности (в идеальном случае — от границы вакуума, где не могут возникнуть преломленные волны) граничные условия не могут быть удовлетворены в предположении, что отражается только волна расширения. Затем перейдем к разысканию амплитуды и направления дополнительной отраженной волны искажения, которая необходима для удовлетворения этим граничным условиям. Пусть направление распространения падающей волны расширения в плоскости
где
Фиг. 5. Отражение волны расширения от свободной границы. Жирными ромбиками помечены волны расширения, штрихом — волна искажения. Далее, пусть отраженная волна расширения составляет угол
где
На свободной границе
(Так как, по предположению, перемещения в направлении Подставляя перегруппировки членов)
где
При подстановке
Из условия на границе после подстановки значений
Это уравнение может удовлетворяться при любых значениях Если мы теперь рассмотрим второе условие, означающее, что на границе не должно быть касательных напряжений, и таким же путем подставим
после преобразований это дает на границе
Однако написанное выражение не равно нулю при условиях, которые необходимы для обращения в нуль
где
Рассмотрим теперь условие отсутствия напряжения сдвига на границе
где
Подставляя значения
Производя замену всех входящих сюда функций через соответствующие им выражения, будем иметь
Это уравнение может удовлетворяться для всех значений
отсюда получаем
Таким образом, волна расширения отражается под углом, равным углу падения, а отражение волны искажения подобно преломлению света, причем "коэффициент преломления" равен отношению скорости волны расширения к скорости волны искажения, т. е.
Теперь можно видеть, что условие отсутствия нормального напряжения на границе также удовлетворяется. Имеем
что после подстановки
Если, как прежде,
Подставляя
Из уравнений (2.41) и (2.42) можно подсчитать амплитуды двух отраженных волн, и, так как эти уравнения приложимы к гармоническим волнам любой частоты, они справедливы также для волн произвольной формы. При нормальном падении волн искажения не возникает. Амплитуда отраженной волны расширения равна в этом случае амплитуде падающей волны, а фаза при отражении от границы изменяется на На фиг. 6 значения отношений и Рассмотрим, наконец, отражение волны искажения, падающей на свободную границу. Как и прежде, имеем плоскую волну, распространяющуюся параллельно плоскости искажения, можно рассматривать как результат наложения двух составляющих волн, направления колебания в которых образуют прямой угол. Значит, достаточно определить условия отражения волны с колебанием, параллельным оси
Фиг. 6. Амплитуды отраженных волн расширения и искажения при различных углах падения для Условия для любого другого направления колебаний можно тогда найти, комбинируя полученные результаты. Граничные условия, которым надо удовлетворить, следующие:
Для волны с направлением колебаний, параллельным оси Для волны искажения с направлением колебаний, перпендикулярным оси z, решение аналогично тому, которое уже описано для падающей волны расширения. Здесь нет движения в направлении оси z, и соответствующие условия на границе суть
Фиг. 7. Отражение волны искажения от свободной границы. С другой стороны, из условия
Из этих уравнений при любом угле падения можно найти
|
1 |
Оглавление
|