§ 9. Распространение в аэлотропной среде

При выводе уравнений движения твердой среды (2.7) было отмечено, что эти уравнения справедливы при любых зависимостях между напряжением и деформацией. Волновые уравнения изотропного упругого тела были затем получены подстановкой из

соответствующих уравнений упругости (2.3). Чтобы исследовать распространение упругих волн в аэлотропном теле, например в монокристалле, надо использовать общие зависимости (2.2) между напряжением и деформацией. Они выражают компоненты напряжения через компоненты деформации, а деформации, в свою очередь, можно выразить через перемещения с помощью уравнений (2.1).

Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся в аэлотропной среде со скоростью с, причем нормаль имеет направляющие косинусы Перемещения являются в этом случае функциями одного параметра

так что

Тогда первое уравнение (2.2) принимает вид

и

где обозначают вторые производные от по Аналогичные выражения можно получить для так как уравнения движения (2.7) запишутся в виде

где

Исключение из (2.15) приводит к детерминантному уравнению

Это — кубическое относительно уравнение, имеющее три положительных корня для любого реального упругого тела. В общем случае эти корни различны и соответствуют трем различным скоростям распространения. Значение этих скоростей зависит от двадцати одной упругой постоянной материала и направления распространения, определяемого величинами Волновая поверхность представляет собой три полосы, подобные двум полосам поверхности Френеля при распространении света в кристаллической среде. Можно показать [70], что когда три скорости распространения различны, уравнения (2.59) означают, что направления колебаний, соответствующие трем скоростям, взаимно перпендикулярны. Когда две скорости распространения совпадают, соответствующие им колебания образуют простое волновое движение, происходящее в плоскости, перпендикулярной направлению третьего колебания. Когда это имеет место, совместное движение, как и в случае света, может иметь форму плоской поляризации, эллиптической поляризации или круговой поляризации — в зависимости от фазовых соотношений двух компонент колебания и их амплитуд.