§ 3. Поведение «вязко-упругих» тел

При рассмотрении уравнения (5.1) колеблющегося тела было предположено, что упругая восстанавливающая сила пропорциональна перемещению, а диссипативная сила пропорциональна скорости. Было указано, что в уравнении (5.1) зависит от упругих постоянных, а зависит от диссипативных сил, причем обе величины связаны также с размерами образца. Однако природа этих диссипативных сил не

обсуждалась. Рассмотрим теперь, как внутреннее трение зависит от частоты, если предположить, что диссипативные силы имеют чисто вязкую природу. При обсуждении этой задачи надо, прежде всего, остановиться на параметрах, от которых могут зависеть вязкие силы. Максвелл [94], изучая природу вязкости в газах, высказал предположение, что, хотя связь между напряжением о и деформацией в упругом теле имеет вид где соответствующая упругая постоянная, зависимость для реального тела точнее описывается соотношением

где "время релаксации" тела.

Значит, если время приложения силы мало по сравнению с материал ведет себя подобно упругому телу, если же это время велико по сравнению с поведение материала подобно поведению вязкой жидкости с вязкостью Твердое тело, подчиняющееся закону (5.23), называется "телом Максвелла", оно может быть представлено моделью, содержащей пружину и последовательно соединенный с ней вязкий элемент, часто называемый "амортизатором" (фиг. 26, 6). Пружина предполагается подчиняющейся закону Гука, а амортизатор рассматривается как поршень, движущийся в жидкости, которая подчиняется закону вязкости Ньютона, так что скорость пропорциональна приложенной силе.

Мы еще возвратимся к поведению тел Максвелла, но прежде обсудим другой тип соединения упругого и вязкого элементов, который впервые был рассмотрен Мейером [95] и позже обобщен Фохтом [148]. Фохт предположил, что компоненты напряжения в твердом теле выражаются в виде суммы двух групп членов, из которых первая пропорциональна деформациям, а вторая — скоростям изменений деформаций. Значит, в уравнениях для аэлотропного тела [уравнения (2.2) гл. II] каждая компонента напряжения должна представляться в виде суммы двенадцати членов: шести членов вида сгагц и шести членов вида Здесь коэффициенты — упругие постоянные материала, а коэффициенты — соответствующие постоянные вязкости. Для изотропного материала последние приводятся к двум постоянным вязкости, соответствующим константам Ляме; будем их обозначать Соотношения упругости (2.3) тогда принимают вид

Эти соотношения приводят к уравнениям, аналогичным тем, которые получены для упругого тела, но вместо к в них будет стоять оператор к а вместо оператор при этом в большинстве случаев уравнения сильно усложняются.

Тело такого типа, называемое телом Фохта, может быть описано моделью, показанной на фиг. 26, а, с пружиной и параллельно включенным амортизатором. При деформации кручения имеет место только сдвиг, а потому пружина должна иметь жесткость модуля сдвига а амортизатор должен иметь вязкость

Если на противоположные концы цилиндра длины I и радиуса действуют две противоположно направленные пары величины С каждая и относительное угловое смещение двух концевых сечений есть 0, то для вполне упругого тела имеем

а для тела Фохта

Если простоты ради рассмотреть диск с моментом инерции подвешенный на проволоке длины I и радиуса и предположить, что момент инерции диска велик по сравнению с моментом инерции проволоки, то уравнение крутильных колебаний имеет вид

Это совпадает с уравнением (5.1) при если в качестве 5 взято угловое перемещение и

Фиг. 26. Модели вязко-упругих тел. а — тело Фохта; б - тело Максвелла; в — более общая модель.

Следовательно, когда демпфирование мало, логарифмический декремент системы согласно уравнению (5.6), равен

Значит, если проволока ведет себя как тело Фохта, то логарифмический декремент пропорционален частоте и отношению

В общем случае деформации наряду со сдвигом включают объемное расширение, так что необходимо использовать четыре постоянные чтобы решить соответствующую задачу, часто

приходится делать некоторые упрощающие предположения относительно связи между ними. Так, вместо использования двух констант Ляме к и [а пользуются сжимаемостью и связанными с ними постоянными вязкости и При этом часто обозначают х и называют объемной, вязкостью тела, называют сдвиговой вязкостью. Затем предполагается, что х пренебрежимо мало, так что остается только одна постоянная вязкости Для некоторых веществ, называемых резиноподобными материалами, эти гипотезы представляются оправданными, поскольку для них влияние объемной вязкости мало по сравнению с влиянием сдвиговой вязкости. Однако в общем случае это предположение не оправдывается.

Другое часто делаемое [115] упрощающее предположение состоит в том, что При этом снова остается только одна независимая постоянная вязкости. Представляется, однако, мало обоснованным делать такое предположение за исключением общего соображения, что вязкие процессы могут сопровождать упругие процессы (см. Томпсон [142]).

В случае одноосного растяжения стержня, когда боковая поверхность свободна от напряжений, отношение напряжения к деформации в упругом теле равно модулю продольной упругости [см. уравнение (2.4)]. Для тела же Фохта, как показал Томпсон, зависимость между напряжением и деформацией должна иметь вид

где приближенно определяется соотношением

причем

Постоянная была названа "коэффициентом нормальной вязкости" Хонда и Конно. [Если , то (5.30) дает ].

Продольные колебания стержня, поведение которого подобно поведению тела Фохта, можно представить уравнением (5.1), если приравнять и где В — величина, зависящая от формы стержня и имеющая размерность квадрата длины. Значит, из (5.6) логарифмический декремент приближенно будет выражен так:

где частота, умноженная на

Возвратимся теперь к талу Максвелла, для которого зависимость напряжение — деформация имеет вид (5.23), а соответствующая

ханическая модель изображена на фиг. 26, б. Для простоты рассмотрим продольные колебания большой массы подвешенной на стержне длины I с площадью поперечного сечения А, и предположим, что инерция стержня пренебрежимо мала по сравнению с Тогда уравнение движения массы имеет вид

где напряжение в стержне и перемещение массы. Относительное удлинение стержня при этом равно следовательно, уравнение (5.23) запишется в виде

Исключая и из (5.32) и (5.33), получаем

После интегрирования находим

Уравнение (5.35) по форме подобно уравнению (5.1), и если масса М колеблется, то она будет совершать демпфирующие синусоидальные колебания, которые, как видно из сравнения с (5.3), записываются в виде

где Логарифмический декремент есть натуральный логарифм отношения двух последовательных амплитуд по одну и ту же сторону от положения равновесия. Так как коэффициент уменьшения амплитуды за единицу времени составляет то уменьшение амплитуды за одно колебание будет равно следовательно,

Для тела Максвелла время релаксации можно рассматривать как отношение его "эффективной вязкости" к модулю упругости так что (5.36) можно переписать в виде

Значит, для тела Максвелла логарифмический декремент изменяется обратно пропорционально как частоте, так и эффективной вязкости материала.

Если мы сравним (5.37) с (5.28), то увидим, что тела Максвелла и тела Фохта ведут себя противоположным образом. Это дает удобный

способ проверить, ведут ли себя реальные тела подобно той или другой идеализированной модели. Как будет показано в следующей главе, для большинства тел ведет себя отлично от обеих моделей и чаще всего почти не зависит от частоты. Таким образом, хотя эти модели удобны для качественного описания возможного возникновения внутреннего трения из процессов вязкой природы, они являются слишком упрощенными, чтобы служить количественным целям. На фиг. 26, в показано несколько более сложное устройство, в котором скомбинированы свойства моделей Фохта и Максвелла. Эта модель дает результаты, более близкие к поведению реальных тел, но количественное соответствие, за исключением малой области частот, все же весьма неудовлетворительно.

Чтобы принять во внимание тот факт, что в теле могут иметь место одновременно несколько различных релаксационных явлений, надо было бы рассматривать более сложные модели. Они состоят из нескольких моделей Максвелла, соединенных параллельно, или из нескольких моделей Фохта, соединенных последовательно. Тело, таким образом, рассматривается как имеющее несколько различных времен релаксации или в пределе непрерывный "спектр" времен релаксации. Такая трактовка математически эквивалентна постановке Больцмана, которая будет обсуждена ниже.