§ 2. Векторная форма волновых уравнений

Уравнения движения упругого тела можно записать в векторной форме, причем такая запись имеет то преимущество, что она не зависит от координатной системы.

Если перемещение обозначить вектором компоненты которого в декартовой системе координат суть ( то объемное расширение являющееся скалярной величиной равно дивергенции вектора обозначаемой Вектор углового вращения с векторными компонентами в декартовых координатах записывается в виде Если к — единичные векторы вдоль направлений х, у, z соответственно, то

Имеется еще одна функция, подлежащая определению, — это градиент (обозначается Так, если V — скалярная величина, являющаяся функцией от то

Между векторными функциями существуют определенные соотношения. Так, для оператора Лапласа над вектором имеем

где можно показать, что

Уравнения движения изотропного упругого тела, выведенные в гл. II и представленные уравнениями (2.8), (2.9) и (2.10), можно записать в виде одного

векторного уравнения

Подставляя значение из получаем

Так как уравнение перепишется в следующем виде:

Это уравнение не зависит от выбранной системы координат и более компактно, чем такое же уравнение в декартовой форме.