§ 2. Обобщенная форма закона Гука

Экспериментально найдено, что для большинства твердых тел рассмотренные выше деформации пропорциональны приложенной нагрузке, если только нагрузка не превосходит некоторого значения, называемого пределом упругости. Этот экспериментальный закон математически формулируется так: каждая из шести компонент-напряжения в любой точке тела является линейной функцией шести компонент деформации, т. е.

(обобщенная форма закона Гука), где коэффициенты представляют собой упругие постоянные материала. Хотя закон в такой форме не поддается прямой опытной проверке, он охватывает экспериментальные результаты для различных типов нагружения, и любое его

математическое следствие, которое может быть проверено опытным путем, оказывается верным в пределах упругости материала.

Можно показать, что условие того, что упругая энергия является однозначной функцией деформации, состоит в равенстве коэффициентов При этом число независимых коэффициентов уменьшается от 36 до 21. В совершенно аэлотропном материале, в котором нет пространственной симметрии (например, для кристаллов триклинной системы), упругие свойства среды определяются значениями 21 различной величины. Если материал имеет оси или плоскости симметрии, находятся новые соотношения между этими коэффициентами (Ляв, стр. 172) и число независимых упругих постоянных существенно уменьшается. Например, для кубического кристалла остаются только три независимые постоянные.

В изотропном теле значения коэффициентов Не должны зависеть от выбора прямоугольной системы осей, откуда вытекает, что неза висимых постоянных здесь только две. Обозначим их Тогда

а остальные Двадцать четыре коэффициента равны нулю. Уравнения (2.2) принимают вид

где эта величина выражает изменение объема единичного куба и называется дилатацией или объемным расширением.

Две упругие постоянные называемые константами Ляме, полностью определяют упругие свойства изотропного тела. Для удобства, однако, используются обычно четыре упругие постоянные: модуль продольной упругости пуассоново отношение модуль объемного сжатия и модуль сдвига, совпадающий с константой Ляме С помощью уравнений можно выразить через

Модуль можно определить как отношение напряжения к относительному удлинению, когда к цилиндрическому или призматическому образцу приложено равномерно распределенное по плоским концевым сечениям напряжение, а боковая поверхность свободна. Пусть ось х параллельна оси цилиндра, тогда приложенное напряжение, а другие компоненты напряжения равны нулю. Первые

три уравнения при этом дают

разрешив эти уравнения относительно получим

Согласно определению так что

Пуассоново отношение определено как отношение поперечного сокращения к продольному удлинению образца при свободной боковой поверхности, т. е. в рассматриваемом случае как — Следовательно,

Модуль объемного сжатия определяется как отношение приложенного давления к относительному изменению объема тела, подверженного равномерному гидростатическому сжатию. При этих условиях

и из соотношений (2.3) получаем Так как относительное изменение объема равно — то

Наконец, модуль сдвига (или жесткости) равен отношению сдвигающего напряжения к деформации сдвига [см. последние три уравнения (2.3)].