§ 4. Уравнения Похгаммера для цилиндрических стержней

Как упоминалось ранее, теоретически возможно решать любую задачу о колебаниях или о распространении напряжений в упругом теле, если к уравнениям (2.8), (2.9), (2.10) предыдущей главы присоединить соответствующие граничные условия. Однако практически точные решения не получены даже в простейшем случае колебаний цилиндра конечной длины, хотя в этом частном случае можно построить решения, которые дают результаты, очень близкие к истине, когда длина цилиндра велика по сравнению с его диаметром. Эта задача была впервые исследована на основе обших уравнений упругости Похгаммером [111] и независимо от него Кри [17, 18].

Для круглого цилиндра сочетать граничные условия с уравнениями движения в декартовых координатах (2.8), (2.9) и (2.10) очень трудно, а потому надо преобразовать эти уравнения к цилиндрическим координатам (это сделано в приложении). Если в качестве цилиндрических координат взять а соответствующие перемещения обозначить то уравнения можно записать в виде

где дилатация, которая в цилиндрических координатах имеет выражение

компоненты вращений относительно трех ортогональных направлений, выбранных вдоль радиус-вектора перпендикулярно плоскости и параллельно оси z соответственно. Эти три компоненты имеют выражения

Уравнения (3.39) приводят к тождественному соотношению

При применении уравнений (3.35), (3.36) и (3.37) к колебаниям круглого цилиндра мы будем ось z направлять вдоль оси цилиндра. На поверхности цилиндра должны отсутствовать три компоненты напряжения, действующие в радиальном направлении (по аналогии с обозначениями в декартовых координатах будем обозначать эти компоненты Соотношения между ними и деформациями имеют вид

Если мы рассмотрим распространение бесконечного ряда синусоидальных волн вдоль твердого цилиндра, таких что перемещение в каждой точке представляется простой гармонической функцией переменных то можем записать

где функции от и 0.

Частота волн равна а их длина так что фазовая скорость равна Подставляя (3.42) в уравнения (3.35), (3.36) и (3.37)

и учитывая граничные условия, требующие, чтобы компоненты напряжения (3.41) обращались в нуль на поверхности цилиндра можно получить выражения для фазовой скорости волн данной частоты.

Рассмотрим теперь с помощью этих уравнений три типа колебаний цилиндрических стержней — продольные, крутильные и поперечные.

а) Продольные волны

Предположим здесь, что перемещение равно нулю, т. е. что каждая частица колеблется в плоскости и предположим еще, что движение симметрично относительно оси цилиндра, так что не зависят от 0. Тогда, вследствие (3.39), равны нулю, а уравнения (3.35) и (3.37) принимают вид

[так как на основании ].

Используя выражения (3.38) и (3.39), мы можем исключить из уравнений (3.43) и (3.44) или или Это приводит к двум соотношениям:

где

и

Если в уравнении (3.45) перейти от переменной получится уравнение Бесселя нулевого порядка, так что решение, имеющее конечное значение на оси, есть

Аналогично, вводя в уравнение (3.46) переменную получаем уравнение Бесселя первого порядка, так что

причем — функции не зависящие от

Подставляя теперь из (3.42) в (3.38) и (3.39), имеем

Чтобы удовлетворить (3.49), (3.50), (3.51) и (3.52), должны иметь вид

где константы.

Если теперь сделать подстановку (3.53) и (3.54) в выражения для даваемые (3.41), то условие обращения этих компонент в нуль на поверхности цилиндра (где дает

(для краткости здесь написано вместо Исключая из (3.55) и (3.56) величину получим известное уравнение частот, содержащее частоту колебаний, длину волны, радиус цилиндра а, упругие постоянные к и [а и плотность Из этого уравнения можно получить фазовую скорость для синусоидальных волн любой частоты в бесконечно длинном цилиндре. Однако для цилиндра конечной длины эти решения не точны, так как они не удовлетворяют условиям того, что концы стержня свободны от усилий. Но если длина цилиндра велика по сравнению с а, то оставшиеся не учтенными напряжения очень малы.

Представляя в виде степенных рядов, имеем

Если радиус цилиндра а достаточно мал, чтобы были малы по сравнению с единицей [что, согласно (3.47) и (3.48), эквивалентно тому, что длина волны колебаний велика по сравнению с радиусом цилиндра], то, пренебрегая в разложении функций Бесселя в степенные ряды степенями выше первой, получим

Если подставить эти приближенные значения в (3.55) и (3.56), то уравнение частот примет вид

Отбрасывая решение соответствующее волнам, распространяющимся со скоростью [см. уравнение (3.48)], и подставляя

из (3.47), найдем

Соотношение (3.58) выражает фазовую скорость через упругие постоянные и плотность цилиндра, и, так как равно модулю упругости [см. уравнение (2.4)], эта скорость равна что было получено в элементарной теории [уравнение (3.4)].

Учитывая в разложениях функций Бесселя члены, содержащие получим лучшее приближение; тогда решение уравнения частот имеет вид

где пуассоново отношение, равное Уравнение (3.59) было выведено также Релеем [120] путем рассмотрения энергии, связанной с поперечным движением стержня. В безразмерных величинах уравнение (3.59) запишется в виде

где фазовая скорость волн, скорость бесконечно длинных волн в стержне и длина волны. Из (3.60) видно, что фазовая скорость уменьшается до нуля с уменьшением длины волны до значения, равного Следовательно, это уравнение не может давать надежных результатов за исключением случаев, когда длины волн велики по сравнению с радиусом цилиндра.

Групповая скорость может быть получена из (3.60) с помощью соотношения (3.27), т. е.

Групповая скорость стремится к нулю, когда длина волны стремится Кривые, полученные с помощью уравнений (3.60) и (3.61) при (значение для стали), показаны на фиг. 14 и 15 пунктирными линиями

Хотя описанное здесь исследование Похгаммера впервые опубликовано в 1876 г. и было очень хорошо известно последующим исследователям в этой области (Релей ссылался на него в «Теории звука» [120]), численные результаты были получены только в последние годы. Для продольных волн это было сделано Филдом [33], Бенкрофтом [6], Черлинским [24], Миндлиным [96] и Девисом [25], а численные результаты для аналогичной трактовки изгибных колебаний, которая будет рассмотрена ниже, опубликованы Хадсоном [61].

В пределах своей применимости уравнения (3.55) и (3.56) приводят к уравнению частот, содержащему шесть параметров: упругие постоянные плотность радиус стержня а, частоту волн и их длину Однако выражая это уравнение в безразмерной форме, мы можем сократить число переменных до трех: Значит, для каждого заданного значения получается уравнение, содержащее только Найдено, что это уравнение имеет много корней, причем каждый корень соответствует особой форме колебания стержня. На кривых и 3 фиг. 14 показаны значения, вычисленные Девисом [25] для первых трех корней уравнения частот при Бенкрофт [6] рассчитал первую ветвь кривой для ряда значений и кривая, полученная из его результатов путем интерполяции при согласуется с кривой, полученной Девисом.

Фиг. 14. Фазовая скорость волны расширения в цилиндрических стержнях при

Фиг. 15. Групповая скорость волны расширения в цилиндрических стержнях при

На фиг. 14 приведены также значения причем скорости волн расширения и искажения в безграничной среде, скорость поверхностных волн Релея в полубесконечной среде. Эти отношения можно выразить через

можно вывести из (3.63), предварительно найдя из кубического уравнения (2.37) предыдущей главы. Для так что

Из кривой 1 фиг. 14 видно, что для больших длин волн фазовая скорость продольных волн очень мало отличается от а поправка Релея [уравнение (3.60)], показанная кривой весьма точно описывает зависимость длины волны от частоты для этого типа колебаний. Для более коротких волн ошибки становятся более существенными, но кривая продолжает давать удовлетворительное приближение до значений порядка 0,7. При более высоких значениях кривые быстро отклоняются и, тогда как по точной теории фазовая скорость с уменьшением длины волн должна асимптотически стремиться к (Бенкрофт. [6] показал, что уравнение частот переходит в кубическое уравнение поверхностных волн (2.34), когда очень велико), кривая пересекает ось при 1,098.

Чтобы найти соответствующее данному корню уравнения частот распределение перемещений и напряжений по поперечному сечению, надо прежде из уравнений (3.55) и (3.56) получить отношение даваемое этим корнем. Вводя это значение в (3.53) и (3.54), получим выражения для содержащие только одну постоянную, которая определяется амплитудой волны. Уравнения (3.42) выражают через а соответствующие компоненты напряжения находятся из уравнений (3.41). Этим методом Девис (1948) рассчитал распределение перемещений и компонент напряжения по поперечному сечению стального цилиндра для первого корня уравнения частот.

Подсчеты показывают, что первая форма, даваемая кривой 1 на фиг. 14, соответствует колебаниям, при которых до определенного значения равного приблизительно 0,375 при узловых цилиндрических поверхностей не возникает. При указанном значении узловой цилиндр появляется на поверхности стержня, а при ббльших значениях эта форма колебаний имеет один узловой цилиндр. Вторая форма (кривая 2 фиг. 14) имеет два узловых цилиндра и т. д. Вид колебаний зависит от начальных условий, причем экспериментально обнаружено, что обычно возбуждается первая форма. Как и можно было ожидать на основании того факта, что при больших фазовая скорость для первой формы стремится к скорости поверхностных волн, обнаружено, что продольное перемещение при этих условиях очень велико на поверхности цилиндра и быстро убывает с глубиной, что аналогично волнам Релея в поверхностных слоях полубесконечной среды.

Из фиг. 14 видно, что фазовые скорости для высших форм превышают скорость волн расширения в среде. Однако, как упоминалось ранее, фазовая скорость не соответствует переносу энергии, которая распространяется с групповой скоростью На фиг. 15 изображены кривые соответствующие ветвям 1 и 2 кривых фазовой

скорости на фиг. 14. Они получены путем дифференцирования соответствующих кривых с использованием соотношения (3.27). Значения полученные из уравнения (3.61) с использованием поправки Релея, показаны пунктирной кривой Видно, что и здесь кривая дает надежные результаты лишь при очень малых значениях Из кривой 2 видно, что групповая скорость в отличие от фазовой скорости не превышет Видно также, что при первой форме групповая скорость достигает минимума при значении около 0,45, тогда как при второй форме примерно этому значению соответствует максимум. Это объясняется тем, что при распространении в стальном стержне импульса первой формы в "хвосте" импульса обнаруживаются компоненты Фурье с длиной волны около 0,45 радиуса стержня.

Описанный подход к распространению гармонических волн расширения в бесконечном цилиндрическом стержне с помощью точных уравнений приводит к выводу, что энергия не может переноситься вдоль цилиндра этим типом волн со скоростью, превышающей Некоторые исследователи —Филд [33], Саусвелл [132], Прескотт [114] и Купер [22] — указывают, однако, что теоретически допустимо рассматривать цилиндр таким же методом как безграничную среду. Тогда надо было бы ожидать, что упругие волны будут распространяться только с двумя скоростями, возможными для бесконечной среды причем эти волны непрерывно отражаются от свободной поверхности цилиндра таким образом, как это описано в предыдущей главе. Тогда, если мы рассмотрим возмущение в некоторой точке внутри цилиндра, то обнаружим, что из этой точки должна распространяться сферическая волна расширения со скоростью часть этой волны должна распространяться вдоль цилиндра, не испытывая отражений от поверхности. Амплитуда этой неотразившейся волны должна убывать обратно пропорционально расстоянию, вследствие чего действие ее быстро затухает, но, тем не менее, часть энергии переносится со скоростью волн расширения в среде. Части волны, падающие на цилиндрическую поверхность, приводят к появлению отраженных волн расширения и искажения, которые, в свою очередь, при повторном отражении порождают волны обоих типов. Естественно ожидать, что наибольшая часть энергии возмущения будет распространяться со скоростью, меньшей скорости волн расширения. Но теория Похгаммера утверждает, что никакая часть энергии не может переноситься со скоростью, большей и этот парадокс надо разрешить на основании экспериментальных наблюдений.

Можно было бы отметить, что в теории Похгаммера речь идет о синусоидальных волнах, распространяющихся вдоль бесконечного цилиндра. Как показал Ляв (стр. 303), уравнения (3.35), (3.36) и (3.37) не могут быть удовлетворены для свободных колебаний цилиндра конечной длины гармоническими решениями типа (3.42), если предполагать, что торцы цилиндра свободны от напряжений.

С другой стороны, для бесконечного цилиндра часть энергии, переносимая элементарными сферическими волнами, постепенно падает до нуля, так что аргументация предыдущего параграфа неприменима. Здесь следует заметить, что уравнения Похгаммера представляют собой не что иное, как уравнения движения упругой среды в цилиндрических координатах, и, если эти уравнения применить к неограниченной среде, они укажут на наличие двух и только двух типов волн, распространяющихся со скоростями и

Представляется очевидным, что при внезапном приложении силы к центру одной из плоских поверхностей диска, толщина которого сравнима с радиусом, часть энергии должна достигнуть другой стороны со скоростью волны расширения. Имеет ли это место, когда однородная плоская волна падает на пластинку, — менее ясно, и, возможно, здесь играют роль условия на краях пластинки. Бенкрофт [6] утверждает, что для плоских волн надо различать случаи, когда поперечное движение возможно и когда оно ограничено или вследствие приложения внешних сил, или вследствие наличия невозмущенной среды. Если поперечное движение может происходить свободно, действующей упругой постоянной будет когда оно невозможно, такой постоянной будет

Прежде чем закончить описание теории распространения волн расширения в стержнях, следует упомянуть о подходе к ней Гибе и Блехшмидта [41], поскольку на основе этой теории было проведено большинство последующих экспериментальных исследований в Германии и в Америке. Согласно этой теории, вибрирующий стержень можно рассматривать как две отдельные механические системы, каждая из которых обладает своим спектром резонансных частот. Наблюдаемые резонансные частоты стержня рассматриваются как результат взаимодействия этих двух механических систем. Для цилиндрического стержня первый спектр резонансных частот берется таким же, как для стержня бесконечно малого поперечного сечения при продольных колебаниях, а второй спектр — таким, как в диске бесконечно малой толщины при радиальных колебаниях. Гибе и Блехшмидт предположили, что могут возбуждаться только фундаментальные частоты радиальных колебаний, которые комбинируются с различными возможными формами продольных колебаний.

Полученные ими кривые зависимости фазовой скорости от длины волны имеют две ветви, одна из которых совершенно аналогична кривой фиг. 14, а другая подобна кривой 2 той же фигуры, но смещена вправо. Наиболее замечательным выводом из этой теории является наличие "мертвой зоны" между двумя ветвями, соответствующей области частот, в которой невозможно возбуждение продольных колебаний в стержне.

Гибе и Блехшмидт предлагают разыскивать экспериментально такую область для тонкостенной цилиндрической трубы, к которой они также применили их теорию. Однако нет ясности в отношении

такой мертвой зоны для сплошных цилиндров, для которых экспериментальные данные прекрасно согласуются с кривой 1 фиг. 14. Установлено, что подход Гибе и Блехшмидта ближе к действительности, чем поправка Релея, и он дает интересную физическую модель распространения волн расширения в стержне. Однако он вытеснен, по крайней мере, в части, касающейся массивных цилиндров, результатами, полученными на основе точных уравнений теории упругости.

б) Крутильные волны

В случае распространения крутильных колебаний мы должны найти решение уравнений движения (3.35), (3.36) и (3.37), для которого продольных и поперечных перемещений нет, и движение симметрично относительно оси цилиндра, т. е. должны быть равны нулю, а не должно зависеть от 0. Учитывая эти условия, из (3.38) видим, что объемное расширение равно нулю, а компоненты вращения, согласно (3.39), имеют значения

Уравнения движения (3.35) и (3.37) удовлетворяются тождественно, а (3.36) принимает вид

Если теперь рассмотреть гармонические волны и взять для выражение (3.42), то уравнение (3.64) приводится к следующему:

Если, согласно (3.48), обозначить через и сделать замену переменной на то (3.65) перейдет в уравнение Бесселя первого порядка, решение которого, принимающее конечное значение на оси, представляется в виде

где В — постоянная. Условие равенства нулю трех компонент напряжения на поверхности цилиндра приводит к единственному уравнению, так как из (3.41) видно, что равны нулю всюду.

На основании (3.66) условие равенства нулю при дает

Уравнение (3.67) имеет множество корней, первым из которых является Но это значение х не следут учитывать в (3.66),

поскольку (3.65) приводится к уравнению Бесселя только при отличном от нуля. Поэтому надо возвратиться к уравнению (3.65) и попытаться учесть это значение Тогда найдем, что уравнению удовлетворяет функция

где В — постоянная. Как можно видеть из (3.41), это выражение для V обращает в нуль, так что граничное условие на поверхности цилиндра удовлетворяется. Так как амплитуда пропорциональна равны нулю, соответствующее этому решению движение представляет вращение каждого поперечного сечения цилиндра как целого относительно центра. На основании того, что фазовая скорость, соответствующая определяется из соотношения

Значит, дисперсии волн не происходит, а фазовая и групповая скорости равны скорости волн искажения в безграничной среде. Этот результат согласуется с тем, что получено из элементарного подхода [см. уравнение (3.18)].

Выполняя дифференцирование в уравнении (3.67) и используя рекуррентную формулу для бесселевых функций, получим

Корни уравнения (3.70) можно определить численно по таблицам бесселевых функций. Они дают ряд значений соответствующих более сложным видам крутильных колебаний, имеющим узловые цилиндры. Обозначая первый из таких корней через имеем

Но есть скорость распространения волн искажения в безграничной среде, -фазовая скорость распространения волн кручения вдоль стержня, которую обозначим равно где длина этих волн кручения. Следовательно, (3.71) можно записать в безразмерной форме:

или

Уравнение (3.72) дает зависимость между фазовой скоростью и длиной волны кручения при различных значениях Можно заметить, что для всех соответствующих форм колебаний имеет место дисперсия, фазовая скорость становится бесконечной для очень длинных волн и приближается к значению для очень коротких волн. Дифференцируя (3.72) по и подставляя результат в уравнение (3.27), можно получить выражение для групповой скорости волн кручения; эта скорость равна так что она изменяется от нуля для очень длинных волн и асимптотически стремится к при очень коротких волнах.

в) Изгибные волны

При распространении вдоль стержня продольных волн и волн кручения движение симметрично относительно оси стержня, и потому перемещения не зависят от 0, а амплитудные функции в уравнениях (3.42) зависят только от Исследование этих типов волновых движений упрощается также тем, что для продольных волн V равно нулю, а для волн кручения равны нулю

Для изгибных же волн надо рассматривать все три компоненты перемещения, причем все они зависят от 0. Поэтому исследование их с помощью уравнений Похгаммера становится очень сложным и не будет здесь приведено во всех деталях. Описание его можно найти у Лява (стр. 304); окончательное уравнение частот рассмотрено Бенкрофтом [6] и Хадсоном [61]. Последний исследовал общий случай колебаний, а уравнение частот для изгибных колебаний вывел в качестве частного случая.

Если недеформированную ось стержня принять за ось z и предположить, что колебания происходят в плоскости, содержащей эту ось и линию, от которой отсчитывается 0, то естественно искать решения в таком виде, что пропорциональны пропорционально Тогда вместо уравнений (3.42) запишем

где функции только

Для ясности будем называть плоскость, от которой отсчитывается 0, "вертикальной", а направление оси z-"горизонтальным". Значит, равно нулю в вертикальном сечении стержня, содержащем ось z. Второе из уравнений (3.73) означает, что в точках вертикальной плоскости равно нулю, и точки, расположенные на ней, во время колебаний остаются в этой плоскости. Для точек горизонтальной плоскости, содержащей ось стержня (эта плоскость соответствует "нейтральной оси" в элементарной теории изгибных колебаний),

О равно так что на основании первого и третьего уравнений равны нулю. Следовательно, точки горизонтальной плоскости испытывают чисто вертикальные колебания, так как третья, отличная от нуля компонента перемещения перпендикулярна радиусу-вектору и оси

Таким образом, уравнения (3.73) описывают поперечное движение изгибного типа, совершающееся в плоскости, от которой отсчитывается 9; это движение будет определено, если будут найдены выражения для так, чтобы были удовлетворены уравнения движения (3.35), (3.36) и (3.37) и граничные условия на поверхности стержня.

Найдено, что уравнениям движения удовлетворяют следующие выражения:

где постоянные, определяются уравнениями (3.47) и (3.48) соответственно. [Основания для такого выбора выражений приведены у Лява (стр. 304—305); они аналогичны тем, которые использованы в этом параграфе для получения выражений (3.53) и (3.54) для ] Можно показать, что уравнения движения приводят к уравнениям Бесселя первого порядка для объемного расширения и для компоненты вихря Из этих уравнений получается, что пропорционально пропорционально можно затем показать, что должно быть пропорционально

где — постоянные. После этого находим, что удовлетворить этим соотношениям для составленным с помощью выражений (3.73), можно тогда, когда имеют вид (3.74).

Чтобы удовлетворить граничным условиям, надо использовать уравнения (3.74), предварительно найдя с их помощью деформации при вычислении выражений (3.41) для компонент напряжения которые должны обращаться в нуль на поверхности цилиндра, где а. Это приводит к трем совместным уравнениям, из которых можно исключить (эти уравнения можно записать так, что они будут содержать только две постоянные, например и затем вывести уравнение частот. Ляв установил, что, как и в случае продольных волн, решения не описывают точно свободные изгибные колебания цилиндра конечной длины, так как условия, что

концевые сечения свободны от напряжения, не могут быть точно удовлетворены этими решениями. Однако, когда длина цилиндра велика по сравнению с его радиусом, оставшиеся неучтенными напряжения очень малы.

Уравнение частот для изгибных волн дано в детерминантной форме Бенкрофтом [6], который указал на непригодность его использования вследствие его сложности.

Фиг. 16. Фазовая скорость изгибных волн в цилиндрических стержнях при

Но Хадсону [61] удалось выполнить необходимые вычисления в этом уравнении; он получил значения, которые показывают, как фазовая скорость изгибных волн зависит от отношения длины волны к радиусу цилиндра. Он показал также, что для изгибных волн уравнение частот имеет единственный корень, так что эти волны в отличие от волн расширения и кручения могут распространяться только в виде одной формы.

Хадсон представил свои результаты в безразмерной форме в виде таблицы отношений фазовой скорости изгибных волн в стержне

к скорости волн искажения в неограниченной среде. Эти скорости даны для различных отношений длины волн к длине окружности сечения стержня, и результаты представлены для ряда значений пуассонова отношения Девис [25] произвел интерполяцию по этим значениям для случая

Фиг. 16, заимствованная из работы Девиса, построена таким же образом, как фиг. 14,

Фиг. 17. Групповая скорость изгибных волн в цилиндрических стержнях при

Изображенные на ней кривые представляют зависимость отношения фазовой скорости изгибных волн к скорости продольных волн расширения с бесконечной длиной волны (эта скорость, обозначенная попрежнему через равна в функции от где а — радиус цилиндра и А — длина волны изгибных волн. Для сравнения на фиг. 16 показаны также кривые, полученные на основании элементарной теории [уравнение (3.26)] и с учетом поправки Релея [уравнение (3.32)], а также кривая для первой формы продольных волн расширения на фиг. 14. Результаты, полученные из уравнения Тимошенко (3.34), представлены рядом точек, причем

видно, что они находятся в очень хорошем согласии с результатами, полученными Хадсоном на основании точных уравнений теории упругости. Расхождение этих результатов увеличивается с возрастанием значения но даже в предельном случае бесконечно коротких волн оно невелико. По точной теории предельная скорость должна быть равна скорости поверхностных волн Релея которая при составляет а теория Тимошенко дает значение предельной скорости фигуре обозначено

Из фиг. 16 видно, что при длинах волн, примерно в десять раз больших радиусов цилиндра, все четыре подхода дают по существу одинаковые результаты. Но для длин волн, меньших этого значения, элементарная теория и поправка Релея дают значительные погрешности.

На фиг. 17 показаны групповые скорости, выведенные из кривых фиг. 16; наиболее интересная особенность здесь состоит в том, что, согласно точной теории, групповая скорость должна иметь максимум при равном примерно 0,3. Это означает, что при распространении вдоль стержня изгибного импульса компоненты Фурье с длиной волн, равной примерно трем радиусам стержня, должны обгонять компоненты с другими длинами волн и находиться в "голове" импульса.