Главная > Волны напряжения в твердых телах
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 7. Распространение вдоль конического стержня

Продольные гармонические волны, длина которых велика по сравнению с поперечными размерами стержня, распространяются с постоянной скоростью Значит, импульс, составленный такими волнами, должен распространяться вдоль стержня постоянного поперечного сечения с этой скоростью без изменения формы. Однако если поперечное сечение не постоянно по длине стержня, форма импульса и его амплитуда изменяются в процессе распространения.

Распространение продольного импульса вдоль конического стержня рассмотрели Лендон и Куини [81], которые использовали такой стержень для измерения давлений, вызванных взрывом. Использованный ими экспериментальный метод, первоначально введенный Гопкинсоном [58], будет описан в следующей главе. Но приближенная теория

распространения продольных волн вдоль конического стержня малого угла раствора будет изложена здесь для иллюстрации некоторых различий в поведении плоских и сферических волн напряжения. Эта теория применима только к волнам, длина которых велика по сравнению с диаметром конуса в области их распространения. Результаты связаны с некоторыми опытами по разрушению конусов, описанными в гл. VIII.

Расположим вершину конуса малого телесного угла в начале координат О (фиг. 18) и рассмотрим силы, действующие на элемент конуса, ограниченный сферами радиусов

Фиг. 18. Распределение напряжений в коническом стержне.

Если достаточно мал, то нормальное напряжение будет равномерно распределено по каждой из сферических поверхностей; обозначим через а нормальные напряжения на поверхности радиуса и через на поверхности радиуса Результирующая напряжений направлена параллельно оси конуса, так что уравнение движения в этом направлении можно записать в виде

где плотность конуса и перемещение, параллельное его оси. Производя умножение и отбрасывая члены, содержащие получим из (3.76)

Если теперь элемент рассматривать как плоский, то закон упругости имеет вид где - модуль продольной упругости;

тогда из (3.77) получим

где

Уравнение -волновое уравнение для сферических волн, и решением его, как и для уравнения (2.20) предыдущей главы, является

где функции представляют волны, движущиеся в противоположных направлениях. Если мы рассмотрим волну

то для напряжения будем иметь

а для скорости частиц —

Значит, для этих волн нет простой зависимости между напряжением и скоростью частицы. Однако если достаточно велико, чтобы вторым членом в (3.81) можно было пренебречь по сравнению с первым, то получим

Это соотношение аналогично уравнению (3.8) для плоских волн. Выражение (3.80) может представлять импульс, движущийся в направлении вершины конуса, если взять за момент достижения головой импульса вершины конуса, считать отрицательным во время движения импульса к вершине. Функция

представляет перемещение, связанное с простейшим типом импульса. Она имеет силу для отрицательных значений при численно большем В голове импульса и перемещение равно нулю; значениям соответствует невозмущенная область конуса, где перемещение вновь обращается в нуль. В выражении так называемая характерная длина импульса, причем приближенная теория применима только в той области конического стержня, в которой эта длина велика по сравнению с диаметром стержня.

А — постоянная, имеющая размерность квадрата длины и определяющая амплитуду импульса.

Из (3.81) находим напряжение, связанное с импульсом:

[ считается положительным для растягивающих напряжений, так что отрицательные значения о в (3.85) соответствуют сжатию].

Из (3.85) видно, что для т. е. в областях стержня, удаленных от головы импульса, имеет место растягивающее напряжение Это напряжение необходимо для сохранения количества движения в стержне. Количество движения, связанное с импульсом, есть

Интегрирование и подстановка пределов дает

Значит, количество движения непрерывно убывает со скоростью (надо помнить, что здесь отрицательно и растет по модулю при движении импульса к вершине). Уменьшение количества движения уравновешивается "остаточным" растягивающим напряжением действующим на поверхность площади

Возвращаясь теперь к выражению (3.85), видим, что импульс имеет два члена противоположных знаков и что волна сжатия сопровождается волной растяжения, причем по мере приближения импульса к вершине конуса область сжатия становится все короче и короче. Приравнивая (3.85) нулю, можно найти значение на границе областей сжатия и растяжения:

или, вводя вместо это соотношение можно представить в безразмерной форме:

Здесь расстояние от головы импульса до вершины конуса, расстояние, на котором оканчивается волна сжатия. Следовательно, длина волны сжатия равна и (3.86) дает длину области сжатия для различных значений Численные значения таковы:

Следовательно, по мере приближения импульса к вершине область сжатия становится все короче и, когда, наконец, вершина будет достигнута, конический стержень находится целиком в состоянии растяжения. Затем импульс отражается от вершины, и в области между головой этого отраженного импульса и вершиной конуса надо рассматривать эффекты наложения падающего и отраженного импульсов.

1
Оглавление
email@scask.ru