§ 7. Распространение вдоль конического стержня

Продольные гармонические волны, длина которых велика по сравнению с поперечными размерами стержня, распространяются с постоянной скоростью Значит, импульс, составленный такими волнами, должен распространяться вдоль стержня постоянного поперечного сечения с этой скоростью без изменения формы. Однако если поперечное сечение не постоянно по длине стержня, форма импульса и его амплитуда изменяются в процессе распространения.

Распространение продольного импульса вдоль конического стержня рассмотрели Лендон и Куини [81], которые использовали такой стержень для измерения давлений, вызванных взрывом. Использованный ими экспериментальный метод, первоначально введенный Гопкинсоном [58], будет описан в следующей главе. Но приближенная теория

распространения продольных волн вдоль конического стержня малого угла раствора будет изложена здесь для иллюстрации некоторых различий в поведении плоских и сферических волн напряжения. Эта теория применима только к волнам, длина которых велика по сравнению с диаметром конуса в области их распространения. Результаты связаны с некоторыми опытами по разрушению конусов, описанными в гл. VIII.

Расположим вершину конуса малого телесного угла в начале координат О (фиг. 18) и рассмотрим силы, действующие на элемент конуса, ограниченный сферами радиусов

Фиг. 18. Распределение напряжений в коническом стержне.

Если достаточно мал, то нормальное напряжение будет равномерно распределено по каждой из сферических поверхностей; обозначим через а нормальные напряжения на поверхности радиуса и через на поверхности радиуса Результирующая напряжений направлена параллельно оси конуса, так что уравнение движения в этом направлении можно записать в виде

где плотность конуса и перемещение, параллельное его оси. Производя умножение и отбрасывая члены, содержащие получим из (3.76)

Если теперь элемент рассматривать как плоский, то закон упругости имеет вид где - модуль продольной упругости;

тогда из (3.77) получим

где

Уравнение -волновое уравнение для сферических волн, и решением его, как и для уравнения (2.20) предыдущей главы, является

где функции представляют волны, движущиеся в противоположных направлениях. Если мы рассмотрим волну

то для напряжения будем иметь

а для скорости частиц —

Значит, для этих волн нет простой зависимости между напряжением и скоростью частицы. Однако если достаточно велико, чтобы вторым членом в (3.81) можно было пренебречь по сравнению с первым, то получим

Это соотношение аналогично уравнению (3.8) для плоских волн. Выражение (3.80) может представлять импульс, движущийся в направлении вершины конуса, если взять за момент достижения головой импульса вершины конуса, считать отрицательным во время движения импульса к вершине. Функция

представляет перемещение, связанное с простейшим типом импульса. Она имеет силу для отрицательных значений при численно большем В голове импульса и перемещение равно нулю; значениям соответствует невозмущенная область конуса, где перемещение вновь обращается в нуль. В выражении так называемая характерная длина импульса, причем приближенная теория применима только в той области конического стержня, в которой эта длина велика по сравнению с диаметром стержня.

А — постоянная, имеющая размерность квадрата длины и определяющая амплитуду импульса.

Из (3.81) находим напряжение, связанное с импульсом:

[ считается положительным для растягивающих напряжений, так что отрицательные значения о в (3.85) соответствуют сжатию].

Из (3.85) видно, что для т. е. в областях стержня, удаленных от головы импульса, имеет место растягивающее напряжение Это напряжение необходимо для сохранения количества движения в стержне. Количество движения, связанное с импульсом, есть

Интегрирование и подстановка пределов дает

Значит, количество движения непрерывно убывает со скоростью (надо помнить, что здесь отрицательно и растет по модулю при движении импульса к вершине). Уменьшение количества движения уравновешивается "остаточным" растягивающим напряжением действующим на поверхность площади

Возвращаясь теперь к выражению (3.85), видим, что импульс имеет два члена противоположных знаков и что волна сжатия сопровождается волной растяжения, причем по мере приближения импульса к вершине конуса область сжатия становится все короче и короче. Приравнивая (3.85) нулю, можно найти значение на границе областей сжатия и растяжения:

или, вводя вместо это соотношение можно представить в безразмерной форме:

Здесь расстояние от головы импульса до вершины конуса, расстояние, на котором оканчивается волна сжатия. Следовательно, длина волны сжатия равна и (3.86) дает длину области сжатия для различных значений Численные значения таковы:

Следовательно, по мере приближения импульса к вершине область сжатия становится все короче и, когда, наконец, вершина будет достигнута, конический стержень находится целиком в состоянии растяжения. Затем импульс отражается от вершины, и в области между головой этого отраженного импульса и вершиной конуса надо рассматривать эффекты наложения падающего и отраженного импульсов.