§ 7. Отражение и преломление на границе раздела двух сред

Когда упругая волна любого типа встречает свободную по отношению к сдвигу границу, возникает, вообще говоря, четыре волны. Две из них преломляются во вторую среду, две другие отражаются. Исследование этой задачи подобно тому, которое уже описано для отражения от свободной границы, и потому не нуждается детальном разборе. Полное описание общего случая отражения и

преломления на плоской границе раздела двух сред дано Кноттом [172], Зёппритцем [65] и Мекльваном и Зооном [90]

В этой задаче имеются четыре различных граничных условия — значения следующих четырех величин:

I. Нормальное перемещение,

II. Касательное перемещение,

III. Нормальное напряжение,

IV. Касательное напряжение

по обе стороны границы раздела должны совпадать.

Теперь вместо одного перемещения возникают пять (одно от падающей волны, два от отраженных волн и два от преломленных волн). Если рассматривать волну, распространяющуюся в плоскости и принять за границу раздела плоскость то граничные условия можно записать в следующем виде:

или, подставляя выражения напряжений через перемещения из уравнений (2.3),

что также с помощью уравнений (2.3) дает

и

Компоненты напряжения и деформации в первой среде отмечены индексом а, а во второй среде индексом Написанные выше граничные условия задаются в плоскости

Рассмотрим волну расширения, распространяющуюся параллельно плоскости и падающую на границу под углом а, пусть углы отражения и преломления волн расширения равны соответственно, а углы отражения и преломления волн искажения суть соответственно (фиг. 8). Найдено (Мекльван и Зоон), что граничные условия будут удовлетворены, если предположить, что к этим волнам применим принцип Гюйгенса; иначе говоря, что фронт волны на любом расстоянии представляет собой огибающую ряда сферических волн, исходящих из точек фронта волны в предшествующем состоянии. Такое построение, как и в случае света, приводит к соотношению

и - скорости распространения волн расширения и искажения в первой среде, а соответствующие скорости во второй среде. Пусть амплитуда падающей волны расширения равна отраженной и преломленной волн расширения — соответственно, а для соответствующих волн искажения — (фиг. 8).

Подстановка в граничные условия приводит к четырем соотношениям между амплитудами. Так, условие I дает

первая часть условия II (т. е. соотношение ) дает

условие III, вследствие того, что движение происходит в плоскости приводит к равенству

откуда следует соотношение

где плотности двух сред ( выражены здесь через скорости распространения и плотности сред).

Фиг. 8. Отражение и преломление волны расширения, падающей на плоскую границу раздела.

Наконец, из первого условия IV

получаем после подстановки значений компонент напряжения

Четыре совместных уравнения (2.46), (2.47), (2.48) и (2.49) позволяют выразить амплитуды отраженных и преломленных волн через амплитуду падающей волны расширения.

В случае нормального падения равно нулю и, вследствие (2.45), все другие углы также равны нулю; тогда из указанных четырех уравнений можно видеть, что обращаются в нуль, так что возникают только волны расширения. Решения для имеют вид

Амплитуда отраженной волны напряжения зависит, следовательно, от величины и если произведение плотности на скорость одинаково в двух средах, то никаких отраженных волн при нормальном падении не возникает. Это произведение называется характеристическим импеданцем среды. Из (2.50) видно, что, если характеристический импеданц второй среды больше, чем первой, амплитуда перемещения при отражении имеет тот же знак, что и в падающей волне. Так как, однако, направления распространения падающей и отраженной волн противоположны, это соответствует изменению в фазе колебаний на Если характеристический импеданц второй среды меньше, чем первой, амплитуда также меняет знак, так что при отражении изменения в фазе не происходит.

Переходим теперь к отражению и преломлению волн искажения, падающих на плоскость раздела. Предположим, что падающая волна с амплитудой распространяется параллельно плоскости и встречает под углом плоскость раздела, совпадающую с плоскостью Как и в случае отражения от свободной поверхности, надо уточнить направление колебаний в падающей волне искажения, причем следует рассмотреть два различных случая, именно, когда колебания параллельны оси z и когда они перпендикулярны ей, т. е. происходят в плоскости

Если колебания параллельны оси z, то перпендикулярно поверхности раздела движения нет и отраженных или преломленных волн расширения не возникает. Пусть амплитуды отраженной и преломленной волн искажения суть первая отразится под углом, равным углу падения, а вторая преломится под углом таким, что К этому случаю применимы только вторые части граничных условий II и IV:

из которых получаем

Если колебания в падающей волне происходят параллельно плоскости то возникают четыре волны (фиг. 9).

Фиг. 9. Отражение и преломление волны искажения, падающей на плоскую границу раздела.

Для удовлетворения граничным условиям углы должны снова подчиняться закону синусов, как в уравнениях (2.45), так что, обозначая углы, образуемые отраженной и преломленной волнами расширения с нормалью, через и соответственно, а их амплитуды через будем иметь

Четыре граничных условия приводят в этом случае к следующим соотношениям между амплитудами:

Видно, что при нормальном падении волны расширения не возникают и написанные выше соотношения упрощаются:

Если произведение скорости волны искажения на плотность одинаково для обеих сред, то в случае нормального падения и волна искажения не отражается.

Соотношения между амплитудами при отражении от свободной поверхности можно вывести из общих уравнений на границе раздела двух сред, полагая равным нулю. Условия I и II равенства перемещений неприменимы, но уравнения, полученные из условий III и IV, т. е. (2.48), (2.49), (2.57) и (2.58), приводятся к уравнениям (2.41) — (2.44), полученным для свободной границы в предыдущем параграфе.