§ 3. Уравнения движения упругой среды

Чтобы получить уравнения движения упругой среды, рассмотрим изменение напряжений на перпендикулярных к осям гранях малого параллелепипеда со сторонами (фиг. 3). Компоненты напряжения изменяются при переходе от грани к грани; чтобы вычислить усилие, действующее на каждую грань, отнесем напряжение, умноженное на площадь грани, к центру каждой грани.

Как видно из фиг. 3, параллельно каждой оси действуют шесть сил. Если рассмотреть равнодействующую сил, действующих в

направлении х, получим

откуда после упрощений находим

Фиг. 3. Компоненты напряжений, действующих на малый прямоугольный параллелепипед.

По второму закону Ньютона, без учёта массовых сил типа гравитационных, написанное выражение равно где плотность элемента и — перемещение его в направлении оси х, так что

аналогично

и

Эти уравнения движения сохраняют силу при любой зависимости напряжение — деформация среды. Чтобы решить их, надо использовать законы упругости. Для изотропной среды эти законы даются уравнениями (2.3); подставляя из них значения компонент напряжения в (2.7), получим

Далее, по формулам (2.1),

Следовательно,

где обозначает оператор

аналогично

и

Как можно показать, уравнения движения (2.8), (2.9), (2.10) описывают распространение двух типов волн в среде. Так, дифференцируя уравнение (2.8) по по у и (2.10) по z и складывая отдельно левые и правые части, получим

Это — волновое уравнение, показывающее, что объемное расширение распространяется в среде со скоростью

С другой стороны, дифференцируя (2.9) по по у и вычитая из одного результата другой, получим

или

где вращение относительно оси х, определяемое уравнением (2.1). Аналогичные уравнения можно получить для и Значит, вихрь распространяется со скоростью

Если объемное расширение равно нулю, уравнение (2.8) дает

и аналогичные уравнения получатся для Если удовлетворяют условиям

где потенциальная функция, то вращения будут равны нулю. В этом случае

Подставляя в (2.8), получим

и аналогично для

Таким образом, мы видим, что внутри упругого тела волны могут распространяться с двумя различными скоростями. Волны, не связанные с вращением, распространяются со скоростью волны же, не связанные с объемным расширением, распространяются со скоростью Указанные два типа волн называются безвихревыми и эквиволюмиальными соответственно, но, так как эти названия слишком громоздки, чаще используются термины "волны расширения" и "волны искажения". В известном отношении термин "волна искажения" вводит в заблуждение, поскольку эквиволюмиальные волны связаны с искажением без объемного расширения, а безвихревые волны содержат то и другое. Тем не менее для краткости термин "волна искажения" будет здесь сохранен.

Можно показать, что любая плоская волна может распространяться внутри изотропной упругой среды только с той или другой из указанных скоростей. Рассмотрим, например, плоскую волну, распространяющуюся параллельно оси х. (Вследствие изотропности среды это предположение не нарушает общности.) Пусть скорость распространения волны равна с; тогда перемещения будут функциями одного параметра Значит,

а производные по равны нулю. Подставляя эти выражения в уравнения движения (2.8), (2.9) и (2.10), получим соответственно

Здесь через и обозначены вторые производные и да по Уравнения (2.15), (2.16), (2.17) при неравных одновременно нулю да" могут удовлетворяться только в двух случаях: или или В первом случае имеют место продольные волны, в которых движение происходит в направлении распространения, а во втором случае движение поперечно и параллельно фронту волны.

Теория поперечных упругих волн в твердых телах была впервые разработана Навье [99] и несколько позже, более строго, Пуассоном [112]. Примерно в то же время опубликована теория Френеля о поперечных колебаниях в световых волнах. Так как до этого вопрос о поперечных колебаниях, распространяющихся внутри среды, не рассматривался вообще, последующее развитие теории упругих волн имело тенденцию увязываться с развитием теории распространения света (Стоке [136], Кельвин [70]).

Скорость волн искажения зависит только от плотности и модуля сдвига и с первого взгляда может показаться, что скорость волны расширения должна зависеть только от плотности и модуля объемного сжатия Однако [см. уравнение (2.6)], так что скорость волны расширения равна следовательно, зависит как от модуля сдвига так и от модуля объемного сжатия. Физический смысл этого состоит в том, что при распространении волны расширения среда подвергается не просто сжатию, а комбинации сжатия и сдвига. Рассмотрим для пояснения малый кубик материала на пути плоской волны расширения, распространяющейся в направлении оси х; площадь его поперечного сечения, перпендикулярного к оси х, остается неизменной при прохождении волны, тогда как размер в направлении оси х изменяется. Следовательно, имеет место изменение формы, элемента наряду с изменением его объема, и сопротивление среды сдвигу играет роль наравне с сопротивлением сжатию.