Глава VII. ПЛАСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ И УДАРНЫЕ ВОЛНЫ

В первой части монографии было рассмотрено распространение волн напряжения в совершенно упругих средах. Влияние диссипативных сил, которые приводят к превращению упругой энергии в теплоту, было обсуждено в гл. V, а экспериментальные результаты по динамическим измерениям описаны в гл. VI. Однако все системы, которые были до сих пор рассмотрены, подчиняются линейным дифференциальным уравнениям, причем предполагалось, что амплитуда во всех случаях достаточно мала, чтобы восстанавливающая упругая сила была пропорциональной деформации. Общая задача о распространении напряжений в нелинейной среде является, очевидно, чрезвычайно сложной и решения ее были получены лишь в немногих особых случаях.

Вначале будет рассмотрена задача о распространении пластической деформации вдоль проволоки или стержня, которые являются упругими до определенного значения напряжений, называемого пределом пропорциональности. За пределом пропорциональности зависимость между напряжением и деформацией становится иной, причем при снятии напряжений наблюдаются явления гистерезиса. Таким образом, для напряжений, превышающих предел пропорциональности, деформация является однозначной функцией напряжения только при возрастании последнего; при убывании напряжения имеет место другая зависимость напряжение — деформация.

Эта задача была впервые рассмотрена во время второй мировой войны независимо Тейлором [139], Карманом и Дюве [152] и Рахматулиным [117].

При рассмотрении этой задачи Карман и Рахматулин пользовались лагранжевыми координатами, а Тейлор использовал координаты Эйлера. Оба подхода, как можно показать, дают одинаковые результаты, но, так как физический подход в этих двух случаях различен, здесь будут приведены обе трактовки.

Рассматриваемая система представляет собой бесконечно длинную проволоку или стержень, конец которого в момент получает

внезапно скорость и эта скорость остается постоянной для Задача состоит в определении состояния проволоки в момент Предполагается, что зависимость напряжение — деформация в проволоке линейна до критического значения напряжения, после превышения которого эта зависимость между напряжением а и деформацией становится нелинейной, но однозначной для возрастающих напряжений, так что где известная функция деформации Предполагается также, что скорость нагружения не влияет на зависимость напряжение — деформация и что поперечное сечение проволоки достаточно мало, чтобы можно было пренебрегать влиянием радиальной кинетической энергии.