§ 6. Механизм внутреннего трения

Внутреннее трение в твердых телах может быть вызвано несколькими различными механизмами, и хотя все они, в конце концов, приводят к преобразованию механической энергии в теплоту, эти

механизмы включают в себя два различных диссипативных процесса. Эти два процесса представляют собой, грубо говоря, аналоги вязких потерь и потерь путем теплопроводности при распространении звуковых волн в жидкостях.

Первый тип процесса зависит непосредственно от неупругого поведения тела. Если кривая напряжение — деформация для единичного цикла колебаний имеет вид петли гистерезиса, то площадь, заключенная внутри этой петли, представляет ту механическую энергию, которая теряется в форме тепла. Когда образец совершает замкнутый цикл напряжений "статически", определенное количество энергии рассеивается и эти потери представляют часть специфического рассеяния при колебаниях образца. Как показали Джемант и Джексон [40], даже в том случае, когда петля гистерезиса настолько узкая, что не может быть измерена статически, она оказывает существенное влияние на затухание колебаний, так как в опыте на колебания образец может совершать большое число замкнутых циклов гистерезиса. Потеря энергии за один цикл постоянна, так что специфическое рассеяние и, следовательно, логарифмический декремент не зивисят от частоты. Джемант и Джексон нашли, что для многих материалов логарифмический декремент действительно постоянен в довольно широкой области частот, и пришли к заключению, что основная причина внутреннего трения в этих случаях может быть связана просто со "статической" нелинейностью зависимости напряжение — деформация материала. Аналогичные результаты были получены Вегелем и Уолтером [155] при высоких частотах.

В дополнение к статическому гистерезису многие материалы обнаруживают потери, связанные с перепадами скорости, возникающими при колебаниях, причем силы, порождающие эти потери, можно рассматривать как имеющие вязкую природу. Как мы видели, наличие таких сил означает, что механическое поведение зависит от скорости деформирования; этот эффект отмечается, в частности, в органических полимерах с длинными молекулярными цепочками. Предметом реологии является главным образом такого рода зависимость от времени.

Можно различать два типа вязких потерь в твердых телах, что качественно соответствует поведению моделей Максвелла и Фохта, описанных в предыдущих параграфах. Так, когда нагрузка поддерживается постоянной, это может привести к необратимой деформации, как в модели Максвелла, или же деформация может с течением времени асимптотически стремиться к некоторому постоянному значению и медленно исчезать при снятии нагрузки, как это происходит в модели Фохта. Последний тип вязкости называют иногда внутренней вязкостью, а о механическом поведении таких тел говорят как о запаздывающей упругости.

Истолкование эффектов вязкости в твердых телах в молекулярных масштабах не вполне ясно главным образом потому, что типы микроскопических процессов, которые приводят к рассеянию механической

энергии в форме тепла, относятся еще в значительной степени к области догадок. Тобольский, Пауэл и Эринг [145] и Алфрей [2] исследовали вязко-упругое поведение с помощью теории скоростных процессов. В этом подходе делается предположение, что каждая молекула (или каждое звено молекулярной цепочки в случае полимеров с длинными молекулярными цепочками) совершает тепловые колебания в "энергетическом колодце", образованном ее соседями. В результате тепловых флуктуаций время от времени появляется энергия, достаточная для того, чтобы молекула могла покинуть колодец, и при наличии внешних сил имеет место диффузия, одинаковая во всех направлениях. Скорость диффузии зависит от вероятности получения молекулой энергии, достаточной для того, чтобы покинуть колодец, и, следовательно, от абсолютной температуры тела. Если к телу приложено гидростатическое давление, высота энергетического колодца изменяется, скорость диффузии становится другой, но остается одинаковой во всех направлениях. При одноосном растяжении высота колодца в направлении растягивающего напряжения становится ниже, чем в направлении, перпендикулярном к нему. Поэтому молекулы с большей вероятностью будут распространяться параллельно растягивающему напряжению, чем в перпендикулярном к нему направлении. Это течение приводит к преобразованию упругой энергии, накопленной телом, в беспорядочное тепловое движение, которое в макроскопическом масштабе воспринимается как внутреннее трение. Там, где молекулы движутся целиком, течение будет необратимым, и поведение будет аналогично модели Максвелла, тогда как там, где звенья молекул перепутаны, материал ведет себя подобно модели Фохта и обнаруживает запаздывающую упругость.

Если сделать определенные предположения относительно формы колодца потенциальной энергии и природы молекулярных групп, которые в нем колеблются, то можно показать (Тобольский, Пауэл, Эринг [145], стр. 125), что теория приводит к механическому поведению тела, подобному тому, которое описывается моделями пружина— амортизатор, рассмотренными ранее в этой главе. В такой трактовке вопроса подчеркивается зависимость вязко-упругих свойств от температуры; из этой зависимости могут быть выведены термодинамические соотношения. Главное неудобство в приложении теории к реальным телам в количественном отношении связано с тем, что природа потенциального колодца для тел является в значительной мере предметом догадки и что часто несколько различных процессов могут протекать одновременно. Тем не менее, это пока почти единственный серьезный подход к молекулярному объяснению наблюдаемых эффектов, и он дает надежную базу для развития в будущем.

Потери происходят в однородных неметаллических телах главным образом подобно тому, как описано выше, и внутреннее трение связано скорее с неупругим поведением материала, чем с его макроскопическими тепловыми свойствами. В металлах, однако, имеются

потери теплового характера, которые, вообще говоря, более существенны, и Зенер [162] рассмотрел несколько различных тепловых механизмов, приводящих к рассеянию механической энергии в форме тепла.

Изменения объема тела должны сопровождаться изменениями температуры; так, когда тело сжимается, его температура возрастает, а когда оно расширяется, температура понижается. Для простоты мы рассмотрим изгнбные колебания консольной пластинки (язычка). Каждый раз, когда язычок изогнут, внутренняя сторона нагревается, а наружная охлаждается, так что получается непрерывный поток тепла туда и обратно поперек язычка, совершающего нзгибные колебания. Если движение очень медленное, то перенос тепла совершается изотермически и, следовательно, обратимо, а потому при очень малых частотах колебаний не должно происходить никаких потерь. Если колебания происходят столь быстро, что теплота не имеет времени для перетекания поперек язычка, то условия становятся адиабатическими и попрежнему никаких потерь не возникает. При изгибных же колебаниях, периоды которых сравнимы с временем, необходимым для перетекания тепла поперек язычка, возникает необратимое превращение механической энергии в теплоту, наблюдаемое в виде внутреннего трения. Зенер [161] показал, что для колеблющегося язычка специфическое рассеяние дается выражением

и — адиабатическое и изотермическое значения модуля Юнга материала, -частота колебаний, -релаксационная частота, которая для язычка прямоугольного поперечного сечения имеет выражение

здесь К — теплопроводность, удельная теплоемкость при постоянном давлении, плотность, толщина язычка в плоскости колебаний.

Бенневиц и Рётгер [10] измерили внутреннее трение в немецких серебряных язычках при поперечных колебаниях. Результаты их экспериментов показаны на фиг. 29 вместе с теоретической кривой, полученной с помощью уравнения (5.60). При построении этой кривой не были использованы никакие произвольные параметры, причем соответствие между теорией и экспериментом поразительно хорошее. Ясно, что в области частот около (приблизительно 10 гц) теплопроводность в язычке является основной причиной внутреннего трения. Видно также, что при частотах, далеких от экспериментальные значения внутреннего трения выше тех, которые предсказываются теорией, и это указывает на то, что здесь становятся относительно более важными другие влияния. Продольное напряжение будет

порождать аналогичные эффекты, так как часть образца сжата, тогда как другая растянута, и в этом случае тепловой поток параллелен направлению распространения. Так как расстояние между областями сжатия и разрежения в этом случае равно половине длины волны, то потери, вызванные этой причиной, будут малыми при обычных частотах.

Фиг. 29. Сравнения значений внутреннего трения для немецких серебряных пластинок при поперечных колебаниях, измеренных Бенневицем и Рётгером и полученных по теоретическим соотношениям Зенера.

Описанный тип тепловых потерь имеет место независимо от того, однородно тело или нет. Если материал неоднороден, имеются дополнительные механизмы, приводящие к тепловым потерям. Так, в поликристаллическом материале соседние зерна могут иметь различные кристаллографические направления по отношению к направлению деформации и вследствие этого получать при деформировании образца напряжения различной величины. Поэтому температура будет изменяться от кристаллита к кристаллиту, вследствие чего будут возникать мельчайшие тепловые потоки через границы зерен. Как и в случае потерь, связанных теплопроводностью при колебаниях консоли, существует нижний предел частот, когда деформации протекают настолько медленно, что изменения объема совершаются изотермически без каких-либо потерь энергии, а также существует верхний предел частот, когда деформации протекают адиабатически, так что снова никаких потерь не происходит. Наибольшие потери имеют место, когда приложенная частота попадает

между этими двумя пределами; значение этой частоты зависит от размера кристаллического зерна и от теплопроводности среды. Зенер вывел выражение для частоты, при которой потери такого рода максимальны. Это уравнение аналогично (5.61) и имеет вид

где а — средний линейный размер зерна.

Рэндал, Роуз и Зенер [118] измерили внутреннее трение в латунных образцах с различными размерами зерна и нашли, что при использованных частотах максимальное демпфирование наблюдалось, когда размер зерна был очень близок к тому, который определяется уравнением (5.62). Величина внутреннего трения, вызываемого этими микроскопическими тепловыми потоками, зависит от типа кристаллической структуры, так же как и от размера зерна, и возрастает при возрастании упругой анизотропии отдельных кристаллитов. Зенер ([162], стр. 89—90) предположил, что при очень высоких частотах тепловой поток почти полностью ограничивается непосредственной окрестностью границы зерна; это приводит к зависимости, согласно которой специфическое рассеяние пропорционально корню квадратному из частоты колебаний. Этот результат подтвержден экспериментально для латуни Рэндалом, Роузом и Зенером [118]. При очень низких частотах, с другой стороны, тепловой поток происходит во всем материале; отсюда получается соотношение, согласно которому внутреннее трение пропорционально первой степени частоты. Экспериментальные результаты Зенера и Рэндала [164] находятся в согласии с этим выводом.

Имеются два других типа тепловых потерь, о которых необходимо упомянуть. Первый связан с отводом тепла в окружающий воздух; скорость потерь по этой причине, однако, столь мала, что сказывается лишь при очень низких частотах колебаний. Другой вид потерь может возникнуть вследствие отсутствия теплового равновесия между нормальными формами колебаний Дебая; эти потери аналогичны демпфированию ультразвука в газах, вызванному конечностью времени, которое необходимо, чтобы тепловая энергия перераспределилась между различными степенями свободы газовых молекул. Однако в твердых телах равновесие между различными формами колебаний устанавливается настолько быстро, что внутреннее трение, вызванное подобной причиной, можно было бы ожидать заметным только при частотах порядка 1000 мггц. Теория описанного выше явления была рассмотрена Ландау и Румером [80] и позже Гуревичем [47].

Для поликристаллических металлов [69] исследовал внутреннее трение, вызванное "вязким скольжением" на границах кристаллов. Он провел эксперименты по затуханию крутильных колебаний в чистом алюминии и показал, что внутреннее трение в этом случае

можно точно вычислить в предположении, что металл на границах кристаллов ведет себя вязким образом.

Имеется еще два других процесса, происходящих в кристаллических телах при их деформациях, которые могли бы привести к внутреннему трению. Первый из них представляет собой движение в кристаллах областей беспорядка, которые называются дислокациями. Второй процесс состоит в упорядочении растворенных атомов при приложении напряжения; последнее имеет место в тех случаях, когда существуют примеси, растворенные в кристаллической решетке. Роль дислокаций в пластической деформации кристаллов впервые рассматривали Оровен [104], Паланей [113] и Тейлор [138], и, хотя представляется вероятным, что движение этих дислокаций может часто являться существенной причиной внутреннего трения особенно при больших деформациях, точный механизм, по которому упругая энергия рассеивается, в настоящее время не выяснен (см. Бредфилд [15]). Влияние на внутреннее трение растворенных в кристаллической решетке примесей впервые рассмотрел Горский [43] и позднее Сноэк [131]. Основанием к тому, что наличие таких растворенных атомов приводит к внутреннему трению, служит то, что равновесное распределение их в напряженном кристалле отличается от равновесного распределения, когда кристалл ненапряжен. При приложении напряжения установление нового равновесия требует времени, так что деформация отстает от напряжения. Это вносит процесс релаксации, играющий важную роль для осциллирующих напряжений, период которых сравним с временем релаксации. Скорость, с которой равновесие устанавливается, зависит очень заметно от температуры, так что этот тип внутреннего трения должен быть очень чувствительным к температуре.

Частный случай внутреннего трения был обнаружен в ферромагнитных материалах. Беккер и Дёринг [9] дали исчерпывающий обзор экспериментальных и теоретических исследований для материалов этого типа по важной для приложений задаче о магнитострикционном эффекте в возбуждении ультразвука. Найдено, что внутреннее трение в ферромагнитных материалах значительно больше, чем в других металлах, причем оно возрастает при их намагничивании; оно также быстро возрастает с ростом температуры при достижении точки Кюри.

Механизмом, который ослабляет волны напряжений в твердых телах, но который, строго говоря, не является внутренним трением, является рассеяние. Это явление возникает в поликристаллических металлах, когда длина волны становится сравнимой с размером зерна; Мезон и Мак-Скимин [92] провели измерения эффекта рассеяния в алюминиевых стержнях и показали, что, когда длина волны сравнима с размером зерна, затухание обратно пропорционально четвертой степени длины волны. Эта зависимость совпадает с той, которая дана Релеем [120] (том II, стр. 194) для рассеяния звука в газах.