§ 5. Распространение упругого импульса вдоль цилиндрического стержня

Согласно элементарной теории распространения упругих возмущений вдоль цилиндрического стержня, при распространении изгибных импульсов имеет место дисперсия, тогда как продольные и крутильные импульсы должны распространяться вдоль стержня без изменения формы.

Теория Похгаммера, описанная в предыдущем параграфе, показывает, что скорость распространения продольных синусоидальных волн зависит от длины волны, и только в случае распространения волн кручения основных форм явление дисперсии не имеет места. Эта теория показывает также, что для всех трех типов волн элементарная теория применима лишь в случаях, когда длина волны велика по сравнению с радиусом стержня. Результаты точной теории нельзя безоговорочно применять к распространению единичного импульса, так как такой импульс можно анализировать по синусоидальным составляющим только с помощью интеграла Фурье, который, вообще говоря, дает трудно обозримые результаты. Однако тип искажения, производимый распространяющимся вдоль стержня импульсом, можно оценить на основании дисперсионных кривых фиг. 14—17.

Девис [25] исследовал случай продольного импульса в рамках точной теории двумя путями. Первый из использованных им методов состоит в изучении распространения периодически повторяющегося импульса. Такой повторяющийся импульс можно анализировать

с помощью рядов Фурье, причем скорость распространения, соответствующая каждому члену ряда, может быть найдена из кривых фазовых скоростей. Во второй постановке использован метод стационарной фазы Кельвина. В этом методе рассматривается распространение бесконечно короткого импульса бесконечно большой амплитуды. Такой импульс можно выразить через интеграл Фурье и рассматривать как результат суперпозиции синусоидальных волн напряжения, охватывающих спектр длин волн. Все пакеты волн берутся одинаковой амплитуды и считаются находящимися в фазе в начале координат и погашающими друг друга в любом другом месте в момент Распределение напряжений в любой последующий момент можно тогда исследовать по кривым групповой скорости.

Пользуясь этим, Девис показал, что продольный импульс, начальная длина которого сравнима с радиусом, по мере распространения вдоль стержня искажается и основной импульс сопровождается "хвостом" колебания высокой частоты; далее, любые резкие изменения градиента размываются, а прямолинейная часть импульса превращается в колеблющуюся кривую. Он подтвердил свои выводы экспериментально и показал, что они могут быть получены из приближенного уравнения продольных волн при учете эффекта поперечной инерции (см. Ляв, стр. 446).