Глава V. ВНУТРЕННЕЕ ТРЕНИЕ

Теория, описанная в первой части этой монографии, базируется на законе Гука. Уравнения движения твердого тела получаются приравниванием упругим силам произведений масс на ускорения, причем предполагается, что никакие другие силы не играют роли. Поведение многих тел не отличается существенно от вполне упругих при малых деформациях и, как показано в гл. IV, результаты наблюдений часто хорошо согласуются с данными упругой теории.

Однако, если материал совершает колебания, часть упругой энергии всегда превращается в тепло вследствие внутреннего трения. Так, когда твердый образец вибрирует, его свободные колебания затухают даже в том случае, когда он изолирован от окружающих предметов. Амплитуда колебания образца при отсутствии внутреннего трения должна была бы безгранично возрастать при воздействии переменной внешней силы, действующей с резонансной частотой образца. Практически амплитуда всегда принимает конечное значение.

Для жидкостей и газов диссипативные силы порождаются вязкостью и теплопроводностью, причем эти эффекты могут быть исследованы аналитически. В твердых телах поведение оказывается гораздо более сложным и существенно зависит от природы твердого тела. В настоящее время нет удовлетворительной теории внутреннего трения в твердых телах и требуется накопление экспериментальных данных.

§ 1. Определения

Наиболее прямой метод определения внутреннего трения состоит в вычислении отношения где энергия, рассеянная рассматриваемым образцом в течение цикла напряжений, упругая энергия, накопленная образцом в момент достижения наибольшей деформации. Это отношение, называемое "специфической демпфирующей способностью" или "специфическим рассеянием", может быть измерено для цикла напряжения безотносительно к каким-либо предположениям о природе внутреннего трения. Его значение обычно зависит от амплитуды и скорости цикла, а часто также от предшествующей истории образца.

Имеется несколько непрямых методов определения внутреннего трения, причем они связаны с предположением, что восстанавливающие

силы пропорциональны амплитуде колебания, тогда как диссипа-тивные силы пропорциональны скорости. Если применить эти условия, то отношение двух последующих амплитуд свободных колебаний будет постоянным, причем натуральный логарифм этого отношения называемый логарифмическим декрементом, принимается за меру внутреннего трения. Как показано ниже, если в качестве принят натуральный логарифм отношения последовательных амплитуд с одной и той же стороны от положения равновесия, то он равен половине специфического рассеяния, когда демпфирование слабо.

Другой непрямой мерой внутреннего трения служит острота резонансной кривой при вынужденных колебаниях. Если образец нагружается синусоидальной силой заданной амплитуды, частота которой может изменяться, и амплитуда колебаний образца записывается как функция частоты, то график этой зависимости имеет максимум при резонансной частоте и падает по обе стороны от этой точки. При самом низком внутреннем трении образца острота этого резонансного пика наибольшая, и если -изменение частоты вынуждающей силы, необходимое для изменения амплитуды от половины ее максимального значения по одну сторону резонансной частоты до половины максимального значения по другую сторону, то есть мера внутреннего трения. Для линейной системы с малым демпфированием равно специфическому рассеянию, помноженному на

Покажем теперь, как получаются соотношения между этими различными определениями внутреннего трения для образца, в котором восстанавливающая упругая сила пропорциональна перемещению, а рассеяние пропорционально скорости. Уравнение движения такого образца можно записать в виде

где вынуждающая сила, а перемещение. Первый член в правой части уравнения есть инерционный член, зависит от массы и формы образца; второй член — демпфирующий, включает отношение скорости к демпфирующей силе; третий член — упругий, зависит от модуля упругости и формы образца.

Для свободных колебаний равно нулю и общим решением уравнения (5.1) в этом случае является

где комплексные постоянные, зависящие от начальных условий движения. Характер движения будет зависеть от того,

будет ли больше или меньше если то движение не будет колебательным; если то, выделив действительную часть в (5.2), получим

где

Частота колебаний равна и из соотношения (5.4) видно, что частота, так же как и амплитуда колебаний, зависит от Амплитуда уменьшается в раз за время так что в течение периода колебания она уменьшается в раз.

Значит, логарифмический декремент затухания равен

Когда демпфирование достаточно мало, так что можно пренебречь величиной по сравнению с уравнение (5.4) показывает, что в этом случае равно а уравнение (5.5) может быть записано в следующем виде:

Упругая энергия, накопленная в образце, пропорциональна квадрату амплитуды, поэтому если — последовательные значения амплитуд по одну и ту же сторону от положения равновесия, то специфическое рассеяние имеет значение ( Когда оно мало по сравнению с единицей, имеем

Значит, при свободных колебаниях, если демпфирование мало, специфическое рассеяние равно удвоенному логарифмическому декременту.

Рассмотрим теперь вынужденные колебания, когда в уравнении (5.1) представляет силу, изменяющуюся со временем по синусоидальному закону с частотой так что

Решение уравнения (5.1) представляется теперь в виде суммы двух членов: частного решения этого уравнения и общего решения уравнения свободных колебаний. Последнее дается формулой (5.3) и

соответствует переходному процессу; при возрастании оно стремится к нулю. Частное решение, соответствующее установившемуся состоянию, имеет вид

где

и

Написанное выше решение аналогично решению, полученному для электрического контура с самоиндукцией, емкостью и сопротивлением; соответствуют этим трем электрическим величинам, причем перемещение соответствует заряду. Величина тогда соответствует электрическому импеданцу контура и называется механическим импеданцем колеблющейся системы.

Из уравнения (5.9) можно видеть, что амплитуда максимальна, когда минимально, и это соответствует значению

Таким образом, вынуждающая частота, при которой амплитуда максимальна, не равна собственной частоте колеблющейся системы [см. уравнение (5.4)]. Чтобы получить "полуширину" пика резонанса, мы должны найти два значения для которых амплитуда перемещения равна половине ее максимального значения. Из (5.9), (5.12) и (5.4) можно найти, что это максимальное значение равно так что половинное значение определится из уравнения

Два решения этого уравнения получаются подстановкой значения из формулы (5.4)

так что если два значения то имеем

Полуширина резонансного пика дается отношением где - резонансная частота и - разность между двумя частотами, соответствующими значениям Далее, в каждом случае равно частоте, умноженной на так что, если демпфирование мало,

мы имеем

и из (5.13) и (5.5) получаем

Значит, полуширина резонансного пика равна логарифмическому декременту умноженному на Или специфическому рассеянию, умноженному на [см. формулу (5.7)]. По аналогии с теорией электричества величина используется иногда в качестве меры остроты резонанса; она определяется следующим соотношением:

откуда

Работа, производимая внешней силой при действии в образце синусоидального цикла напряжений в течение периода х, дается выражением

На основании (5.8) и (5.9) это выражение принимает вид

Из (5.11) и (5.10) можно видеть, что так что

Упругая энергия, накопленная образцом, когда перемещение достигает максимума, равна следовательно, из (5.9) мы имеем

или

что совпадает с логарифмическим декрементом затухания (5.6) для свободных колебаний.