Глава VI. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ УПРУГИХ СВОЙСТВ

В предыдущей главе были рассмотрены различные методы определения внутреннего трения, причем для этого необходимо было описать различные типы экспериментов по измерению его величины. В этой главе детально описаны некоторые методы, которые были использованы для исследования динамического упругого поведения твердых тел, и дан обзор полученных экспериментальных результатов.

Использованные методы можно разделить на несколько различных классов:

1) метод свободных колебаний;

2) резонансный метод;

3) методы распространения волн;

4) прямое определение кривых напряжение — деформация.

Применение того или иного метода зависит от периода и амплитуды деформации, которая подлежит исследованию, и от формы образца, которая наиболее пригодна. Некоторые исследователи пользовались различными или всеми из указанных методов в одном исследовании, но здесь для удобства они рассматриваются раздельно.

§ 1. Свободные колебания

Если механические свойства исследуемого материала линейны, т. е. если его упругие свойства не зависят от амплитуды, то при заданной частоте колебаний период и логарифмический декремент свободных колебаний будут определять механическое поведение этого материала. Техника эксперимента для такого типа измерений проста, и этим методом было проведено большое число исследований внутреннего трения. Так как для того, чтобы облегчить наблюдения, желательна большая амплитуда, этот метод применялся главным образом с использованием крутильных и изгибных колебаний. При очень медленных колебаниях как период, так и логарифмический декремент можно измерить непосредственно, при высоких же частотах можно использовать фотографический или электрический метод записи. Чтобы охватить всю необходимую область частот, могут быть использованы образцы различных размеров. В общем случае более удобно, однако, использовать дополнительные инерционные элементы, что позволяет изменять период колебаний при одном и том же образце.

Наиболее ранние измерения этим методом были проведены Вебером [154], который использовал образец как подвешенный элемент в баллистическом гальванометре. В последние годы методом свободных колебаний пользовались Фёппль [34], Нортон [102], Джемант и Джексон [40], Ки [69], Гайлет [46], Кемел [68], Верт [156] и Лизерзич [86]. Фёппль, Нортон, Гайлет и Ки применили метод крутильных колебаний металлических образцов, Кемел измерял затухание поперечных колебаний образцов из металлов и стекла, а Верт изучал продольные колебания образцов из монокристалла цинка. Джемант и Джексон использовали метод как крутильных, так и изгибных колебаний для металлов, стекла и диэлектриков, а Лизерзич методом крутильных колебаний исследовал различные пластики.

Как показано в предыдущей главе, потери в металлах имеют в основном тепловой характер, причем теория Зенера объясняет большинство наблюдаемых результатов. Внутреннее трение в пластиках и диэлектриках, вообще говоря, значительно выше, так что значение модуля упругости изменяется с частотой очень быстро. Эти явления будут обсуждены позже, в главе, где описаны другие методы измерения динамических упругих свойств, но здесь было бы полезным иметь оценку относительных значений величины внутреннего трения в различных материалах. В табл. 1 приведены значения, полученные Джемантом и Джексоном при частотах между 0,3 и 10 гц. Самое низкое значение внутреннего трения отмечено в пьезоэлектрических кварцевых резонаторах. Ван Дейк [147] даёт значение для логарифмического декремента кварцевого кольца, резонирующего при частоте видно, что наивысшее значение в табл. 1 более чем в 50 000 раз больше этого.

Таблица 1 (см. скан) ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ДЕКРЕМЕНТ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ МАТЕРИАЛОВ ПО ДАННЫМ ДЖЕМАНТА И ДЖЕКСОНА

Очень изящное видоизменение метода свободных колебаний предложено Ле Ролландом [82], который использовал исследуемый образец,

чтобы спарить два маятника с одним и тем же периодом. Когда один маятник приведен в движение, его колебания оказываются медленно затухающими, тогда как другой колеблется с возрастающей амплитудой. При совершенно упругом образце первый маятник, в конце концов, прекращает колебания и процесс идет в обратном направлении, так что каждый маятник по очереди приобретает всю кинетическую энергию. Можно показать, что время между двумя остановками каждого маятника приблизительно пропорционально силе, которая требуется, чтобы сместить конец образца, соединяющего маятники, на единицу расстояния; этим и измеряется модуль упругости материала под действием осциллирующей силы. При использовании спаренных маятников период колебаний можно изменять от доли секунды до нескольких секунд, что позволяет определять изменение динамического модуля с частотой.

Фиг. 30. Маятники Ле Ролланда.

Как показал Ле Ролланд, это приспособление можно с успехом использовать также для изучения внутреннего трения в образце. Когда два маятника совершают колебания в противоположных фазах, на образец не действует поперечная сила и колебания затухают только вследствие сопротивления воздуха и трения в опорах. Когда оба маятника колеблются в одной фазе, тормозящее действие воздуха и трение в опорах продолжает оставаться, но, кроме того, образец совершает замкнутый цикл напряжений в течение каждого колебания. Энергия, потерянная внутри образца, увеличивает демпфирование, и разница между скоростями затухания колебаний для двух случаев дает меру внутреннего трения этого образца.

Тип упругой деформации, испытываемой образцом, зависит от способа крепления к нему маятников. Простейший тип устройства имеет образец в форме стержня, один конец которого жестко защемлен, а другой поддерживает опору, на которой колеблются маятники в параллельных плоскостях (см. фиг. 30). При таком приспособлении образец изгибается под действием маятников; объектом исследования в этом случае является модуль Юнга. При другом способе опирания можно возбуждать крутильные колебания образца и измерять модуль сдвига.

Рассматривая уравнения движения устройства, изображенного на фиг. 30, массой образца и опоры двух маятников и можно пренебречь по сравнению с массой гирь маятников (каждая из которых подвешена на нити длиной и равна Пусть в некоторый момент времени горизонтальное перемещение опоры равно а горизонтальные перемещения точек равны и соответственно. Пусть натяжения нитей, поддерживающих гири. Тогда уравнение движения маятника имеет вид

где угол, образованный направлением с вертикалью, проведенной через точку 5. Если этот угол мал, то и так что вместо уравнения (6.1) получаем

или

Аналогично для второго маятника имеем

Вычисляя теперь силы, действующие на точку 5 в горизонтальном направлении, найдем

где горизонтальная восстанавливающая сила, вызываемая образцом; для упругого образца она будет пропорциональна перемещению из положения равновесия, так что вместо можно записать где А - величина, зависящая от модуля Юнга и от размеров образца. Значит, если и малы, уравнение (6.4) дает

или

где

Если теперь вычесть соответствующие части уравнений (6.2) из (6.3), получим уравнение

общее решение которого есть

где зависят от начальных условий. Таким образом, расстояние между двумя маятниками изменяется со временем по синусоидальному закону, причем период равен естественному периоду одного маятника.

Если сложить (6.2) и (6.3) и подставить из (6.5), то получим уравнение

общее решение которого есть

где константы, зависящие от начальных условий. Из (6.6) и (6.7) окончательно имеем

Если маятник А в нулевой момент времени смещен и освобожден, то при откуда так что

Эти выражения описывают колебания с частотой амплитуды которых изменяются с частотой последнее выражение дает частоту биения. Если мало по сравнению с то и из выражений определяемых уравнениями (6.6) и (6.7), получаем

Величина А, вообще говоря, велика по сравнению с величиной так что на основании (6.5) заключаем, что частота биения приблизительно обратно пропорциональна А, которая, по определению, есть сила, необходимая, чтобы сместить конец образца на единицу расстояния. Из уравнений (6.8) можно видеть, что перемещение каждого маятника представляет сумму двух отдельных синусоидальных колебаний с различными частотами, амплитуды которых зависят от начальных условий. Два члена в правой части каждого уравнения соответствуют двум различным формам системы: первый член соответствует асимметричной форме, а второй член — симметричной форме.

Приведенная выше простая теория содержит предположение, что образец подчиняется закону Гука и что перемещение его конца пропорционально приложенной силе. Если образец ведет себя вязко-упругим образом, то в уравнении (6.5) будет еще один дополнительный член, содержащий выражение хотя уравнение (6.6) сохраняет силу, уравнение (6.7) будет теперь содержать экспоненциальный множитель демпфирования. Значит, симметричная форма будет медленно затухать, тогда как асимметричная форма будет незатухающей (если исключить сопротивление воздуха). Если при этих условиях один маятник приведен в движение, то колебания не прекращаются полностью, а будут проходить через минимум. Отношение минимальной амплитуды к максимальной дает меру вязких потерь в образце; это было использовано Коваком [76] для измерения внутреннего трения пластиков.

Основным преимуществом метода свободных колебаний является его простота; в частности, он пригоден для работы при низких частотах с образцами, имеющими слабое внутреннее трение. Однако, опираясь на фотографические методы записи, были использованы и высокие частоты; Лизерзич [86], пользуясь этим методом, работал при частотах до 1000 гц. Основная погрешность метода в измерениях внутреннего трения происходит за счет внешних потерь, вызываемых сопротивлением воздуха, трением в опорах и т. п. В случаях, когда внутреннее трение мало, Это часто приводит к большим ошибкам. Что касается сопротивления воздуха, то оно иногда исключалось работой в вакууме, как в опытах Кемела, или проведением отдельных серий измерений, позволяющих принять его во внимание, как в методе Ле Ролланда.