§ 6. Распространение вдоль стержней некругового поперечного сечения

Элементарная теория распространения упругих волн вдоль цилиндрических стержней, описанная в начале этой главы, может быть распространена на стержни любого поперечного сечения, если только длина волны велика по сравнению с его поперечными размерами. Согласно этой теории, продольные волны распространяются с постоянной скоростью а скорость крутильных волн должна зависеть от формы поперечного сечения, но для любой данной формы она постоянна. Изгибные же волны испытывают дисперсию; фазовая скорость синусоидальных изгибных волн с длиной волны А равна где -радиус инерции поперечного сечения стержня относительно оси, перпендикулярной оси стержня и лежащей в нейтральной поверхности [см. уравнение (3.26)]. Когда длины волн становятся сравнимыми с поперечными размерами стержня, написанное соотношение теряет силу и для исследования природы распространения надо использовать точные уравнения теории упругости. Точная теория для цилиндрических стержней была рассмотрена в предыдущих параграфах, но для стержней некругового поперечного сечения анализ становится чрезвычайно сложным, и лишь в немногих случаях были сделаны попытки найти решения.

Кри [17, 18] рассмотрел распространение продольных волн вдоль стержней эллиптического и прямоугольного поперечных сечений и

вывел следующее приближенное выражение для фазовой скорости волн с длиной

— момент инерции поперечного сечения относительно оси стержня, равный для стержня эллиптического поперечного сечения, где наибольшая и наименьшая оси эллипса; для прямоугольного стержняравно (здесь стороны прямоугольного сечения). Формула (3.75) представляет обобщенную форму уравнения Релея (3.59), выведенного для цилиндрических стержней; она дает надежные результаты, если наибольший поперечный размер стержня а достаточно мал по сравнению с длиной волны А, чтобы можно было пренебрегать членами порядка выше второго.

Морз [98] также рассмотрел распространение продольных волн вдоль стержней поперечного сечения с помощью точных уравнений теории упругости и получил решения для стержней, ширина которых велика по сравнению с толщиной. Он показал, что эти решения находятся в хорошем согласии с его экспериментальными результатами [97]. Экспериментальные результаты лежат на двух отдельных кривых, соответствующих двум ветвям 1 и 2 теоретических кривых фиг. 14 для цилиндров.

Морз определил экспериментально, что квадратный стержень дает дисперсионную кривую, которая неразличима с кривой, полученной для цилиндрического стержня, если отношение диаметра цилиндра к стороне квадрата поперечного сечения равно 1,3. Это оказалось справедливым для всей дисперсионной кривой. Согласно формуле Кри [уравнение (3.75)], отношение должно быть равно 1,15; следует внимательно изучить, является ли столь малая разница результатом экспериментальных погрешностей или приближенности уравнения (3.75).