Главная > Волны напряжения в твердых телах
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 8. Распространение продольных волн в бесконечной пластинке

Прежде чем закончить рассмотрение теории упругих волн в твердых телах, остановимся коротко на рассмотрении продольных волн в бесконечной пластинке. Эта задача была решена в 1917 г. Лембом [78], который показал, что для волн, длины которых малы по сравнению с толщиной пластинки, скорость распространения становится равной скорости поверхностных волн Релея.

Фиг. 19. Распределение напряжений в бесконечной пластинке.

Когда длина волны велика по сравнению с толщиной пластинки, напряжения распределены равномерно по ее поперечному сечению, перпендикулярному направлению распространения волн, и уравнение движения можно вывести непосредственно. Так, если плоскость взять параллельно поверхностям пластинки, а ось в направлении распространения, и рассмотреть элемент единицы длины в направлении у и ширины (фиг. 19), то получим

где толщина пластинки и плотность. Отсюда

Чтобы выразить через перемещение и, надо обратиться к соотношениям упругости (2.3) между компонентами напряжения и деформации в изотропном теле. При выбранных направлениях осей перемещение в направлении напряжение, перпендикулярное пластинке, равны нулю, так что из первого и третьего уравнений (2.3)

имеем

Исключая из этих уравнений, находим

Тогда (3.87) переходит в уравнение

Это волновое уравнение, показывающее, что волны распространяются с постоянной скоростью

Скорость можно более удобно выразить через пользуясь уравнениями (2.4) и (2.5):

Формула (3.91) справедлива, когда длина волны велика по сравнению с толщиной пластинки Когда же длина волны становится сравнимой с толщиной, распределение напряжений по сечению пластинки, перпендикулярному фронту волны, перестает быть равномерным. Тогда надо использовать точные уравнения теории упругости (2.8), (2.9), (2.10) и граничные условия, выражающие, что поверхности пластинки свободны от напряжений, причем анализ совершенно аналогичен тому, который описан в гл. II для волн Релея. Лемб [78] рассмотрел распространение синусоидальных плоских волн в бесконечной пластинке и показал, что при симметрии движения относительно срединной плоскости пластинки уравнение частот имеет вид

где равно поделенному на длину волны, а и С — две функции, определяемые уравнениями

Здесь с — фазовая скорость волны в пластинке, как и ранее, — скорости волн расширения и волн искажения в

безграничной среде. Надо заметить, что при величина (3 становится чисто мнимой, и если ее положить равной то (3.92) можно записать в виде

Из (3.92) можно видеть, что если длина волны велика по сравнению с то становятся малыми, так что гиперболические тангенсы можно заменить их аргументами, и (3.92) тогда дает

Подставляя сюда из (3.93), получим

откуда

Но следовательно,

что совпадает с (3.90) — результатом, полученным из элементарной теории.

Для очень коротких волн становятся очень большими и их гиперболические тангенсы стремятся к единице. При этом уравнение (3.92) упрощается:

Возводя в квадрат обе части и подставляя значения (3 и С из (3.93), получаем

Если обозначить и то (3.95) после перемножения дает

что совпадает с уравнением (2.37) для поверхностных волн Релея, и так как

то (3.96) может быть решено для любого значения пуассонова отношения

Итак, плоские продольные волны в бесконечной пластинке могут распространяться со скоростью когда длина волны очень велика по сравнению с толщиной пластинки и со скоростью поверхностных волн Релея, когда длина волны очень мала в сравнении с толщиной.

Фиг. 20. Скорости плоских продольных воли в бесконечной пластинке при

Для длин воли, сравнимых с толщиной, имеет место дисперсия, скорость зависит от отношения длины волны к толщине.

На фиг. 20 показаны кривые фазовой скорости и групповой скорости в функции при Кривая фазовой скорости рассчитана по уравнению (3.92), а групповые скорости были затем получены из соотношения (3.27); скорости нанесены в виде отношения Видно, что групповая скорость имеет минимальное значение при равном приблизительно 0,3; по виду кривые очень похожи на те, которые были получены для первой формы в цилиндрическом стержне (фиг. 14 и 15).

1
Оглавление
email@scask.ru