§ 8. Распространение продольных волн в бесконечной пластинке

Прежде чем закончить рассмотрение теории упругих волн в твердых телах, остановимся коротко на рассмотрении продольных волн в бесконечной пластинке. Эта задача была решена в 1917 г. Лембом [78], который показал, что для волн, длины которых малы по сравнению с толщиной пластинки, скорость распространения становится равной скорости поверхностных волн Релея.

Фиг. 19. Распределение напряжений в бесконечной пластинке.

Когда длина волны велика по сравнению с толщиной пластинки, напряжения распределены равномерно по ее поперечному сечению, перпендикулярному направлению распространения волн, и уравнение движения можно вывести непосредственно. Так, если плоскость взять параллельно поверхностям пластинки, а ось в направлении распространения, и рассмотреть элемент единицы длины в направлении у и ширины (фиг. 19), то получим

где толщина пластинки и плотность. Отсюда

Чтобы выразить через перемещение и, надо обратиться к соотношениям упругости (2.3) между компонентами напряжения и деформации в изотропном теле. При выбранных направлениях осей перемещение в направлении напряжение, перпендикулярное пластинке, равны нулю, так что из первого и третьего уравнений (2.3)

имеем

Исключая из этих уравнений, находим

Тогда (3.87) переходит в уравнение

Это волновое уравнение, показывающее, что волны распространяются с постоянной скоростью

Скорость можно более удобно выразить через пользуясь уравнениями (2.4) и (2.5):

Формула (3.91) справедлива, когда длина волны велика по сравнению с толщиной пластинки Когда же длина волны становится сравнимой с толщиной, распределение напряжений по сечению пластинки, перпендикулярному фронту волны, перестает быть равномерным. Тогда надо использовать точные уравнения теории упругости (2.8), (2.9), (2.10) и граничные условия, выражающие, что поверхности пластинки свободны от напряжений, причем анализ совершенно аналогичен тому, который описан в гл. II для волн Релея. Лемб [78] рассмотрел распространение синусоидальных плоских волн в бесконечной пластинке и показал, что при симметрии движения относительно срединной плоскости пластинки уравнение частот имеет вид

где равно поделенному на длину волны, а и С — две функции, определяемые уравнениями

Здесь с — фазовая скорость волны в пластинке, как и ранее, — скорости волн расширения и волн искажения в

безграничной среде. Надо заметить, что при величина (3 становится чисто мнимой, и если ее положить равной то (3.92) можно записать в виде

Из (3.92) можно видеть, что если длина волны велика по сравнению с то становятся малыми, так что гиперболические тангенсы можно заменить их аргументами, и (3.92) тогда дает

Подставляя сюда из (3.93), получим

откуда

Но следовательно,

что совпадает с (3.90) — результатом, полученным из элементарной теории.

Для очень коротких волн становятся очень большими и их гиперболические тангенсы стремятся к единице. При этом уравнение (3.92) упрощается:

Возводя в квадрат обе части и подставляя значения (3 и С из (3.93), получаем

Если обозначить и то (3.95) после перемножения дает

что совпадает с уравнением (2.37) для поверхностных волн Релея, и так как

то (3.96) может быть решено для любого значения пуассонова отношения

Итак, плоские продольные волны в бесконечной пластинке могут распространяться со скоростью когда длина волны очень велика по сравнению с толщиной пластинки и со скоростью поверхностных волн Релея, когда длина волны очень мала в сравнении с толщиной.

Фиг. 20. Скорости плоских продольных воли в бесконечной пластинке при

Для длин воли, сравнимых с толщиной, имеет место дисперсия, скорость зависит от отношения длины волны к толщине.

На фиг. 20 показаны кривые фазовой скорости и групповой скорости в функции при Кривая фазовой скорости рассчитана по уравнению (3.92), а групповые скорости были затем получены из соотношения (3.27); скорости нанесены в виде отношения Видно, что групповая скорость имеет минимальное значение при равном приблизительно 0,3; по виду кривые очень похожи на те, которые были получены для первой формы в цилиндрическом стержне (фиг. 14 и 15).