Глава III. РАСПРОСТРАНЕНИЕ В ОГРАНИЧЕННОЙ УПРУГОЙ СРЕДЕ

В предыдущей главе были получены уравнения движения изотропной твердой среды (2.8), (2.9) и (2.20), выраженные через перемещения. Теоретически распространение волн напряжения в ограниченном изотропном твердом теле можно изучить, решая эти уравнения при определенных граничных условиях. Из рассмотрения отражения плоской упругой волны от плоскости раздела можно видеть, что при наличии нескольких свободных поверхностей задача не является столь простой и фактически, за исключением простейших случаев, точных ее решений не найдено.

В этой главе вначале рассматривается распространение волны напряжения вдоль цилиндрического стержня, так как эта задача исследована теоретически наиболее полно и имеется достаточно много экспериментальных данных. Прежде чем заняться ее исследованием в точной постановке, мы рассмотрим простейший подход, применимый к распространению волн, длина которых велика по сравнению с диаметром стержня.

Имеется три типа колебаний в тонком стержне или балке: продольные, крутильные и поперечные. При продольных колебаниях элемент стержня удлиняется, но нет никаких поперечных перемещений оси стержня. При крутильных колебаниях каждое поперечное сечение стержня, оставаясь в своей плоскости, поворачивается относительно своего центра, а ось стержня остается невозмущенной. Наконец, поперечные колебания соответствуют изгибу частей стержня, при котором элементы его центральной оси движутся в поперечном направлении.

§ 1. Продольные колебания стержней

Если считать, что каждое плоское поперечное сечение стержня во время движения остается плоским, а напряжение распределено по нему равномерно, то уравнение движения можно получить непосредственно. Рассмотрим малый элемент стержня длины 8 с площадью поперечного сечения, равной А (фиг. 10). Пусть напряжение в плоскости, проходящей через равно тогда на другом конце элемента напряжение равно и по второму закону Ньютона имеем

где плотность стержня. Отношение напряжения к деформации равно модулю упругости так что (3.1) можно записать в виде

Это уравнение описывает распространение продольных волн вдоль стержня со скоростью оно имеет ту же форму, что и (2.15). Решение уравнения (3.2) можно представить в виде

где

произвольные функции, определяемые начальными условиями. Функция соответствует волне, распространяющейся в направлении возрастания х, а функция -волне, распространяющейся в противоположном направлении.

Фиг. 10. Силы, действующие на элемент стержня при продольном движении.

При выводе уравнения (3.2) не было предположено, что стержень обязательно цилиндрический, и это уравнение приложимо в равной мере к тонким стержням или балкам любого поперечного сечения, не изменяющегося по длине.

Приближенность приведенного подхода состоит в предположении, что плоские поперечные сечения стержня остаются плоскими при прохождении волн напряжения, а напряжение равномерно распределено по каждому поперечному сечению. Между тем продольные удлинения и сокращения отрезков стержня обязательно сопровождаются поперечными сокращениями и расширениями, причем отношение поперечных и продольных деформаций равно пуассонову отношению Это поперечное движение приводит к неоднородному распределению напряжений по поперечному сечению стержня, так что плоские поперечные сечения искажаются. Влияние поперечного движения в цилиндрических стержнях будет рассмотрено позже, причем будет показано,

что оно становится важным, когда истинные длины волн будут того же порядка, что и диаметр стержня.

Рассмотрим, прежде всего, следствия уравнения (3.3), приложимые к распространению упругих волн, длины которых велики по сравнению с поперечными размерами стержня. Для простоты рассмотрим волну, распространяющуюся в направлении убывающих тогда

Дифференцируя обе части (3.5) по х, получим

где означает производную по аргументу Затем, дифференцируя (3.5) по получим

тогда из (3.6) и (3.7)

Далее, равно так что

Уравнение (3.8) показывает, что напряжение в каждой точке связано со скоростью частицы прямой пропорциональностью с коэффициентом, равным соответствующим характеристическому импеданцу, определенному ранее в связи с уравнениями (2.50) и (2.51). По аналогии со случаем электропроводности уравнение (3.8) представляет механический аналог закона Ома, а значение характеристического импеданца материала в системе выражается в "акустических омах".

Так как скорость распространения не зависит от частоты волн напряжения, импульс напряжения, компоненты Фурье которого имеют длины волн, большие по сравнению с диаметром стержня, будут распространяться без дисперсии. Когда такой импульс достигнет свободного конца стержня, он отразится. Чтобы найти природу отраженного импульса, используем граничные условия, выражающие отсутствие нормальных напряжений в концевом сечении. Если перемещение в падающем импульсе равно

а перемещение в отраженном импульсе

то напряжения, производимые этими импульсами, составляют

так что результирующее напряжение равно

Если измерять х от конца стержня, то условие, что этот конец свободен от напряжения, имеет вид

Следовательно, отраженный импульс давления имеет ту же форму, что и падающий, но противоположен по знаку, т. е. импульс сжатия, отразившись, становится таким же импульсом растяжения. Перемещение любой точки стержня равно и на свободном конце стержня оно равно так что перемещения, а значит и скорости частиц на конце стержня равны удвоенным значениям их во время распространения импульса вдоль стержня.

Когда импульс давления отражается от закрепленной границы на конце стержня, граничное условие требует равенства нулю перемещения при Из (3.9) и (3.10) общее перемещение равно

откуда при имеем значит, перемещение отраженном импульсе равно по величине и противоположно по направлению перемещению в падающем импульсе. Напряжение, возникающее в отраженном импульсе, равно Еили, по доказанному сейчас, равно т. е. напряжению в падающем импульсе. Итак, импульс давления, отражаясь от жесткой границы, не изменяется, так как распределение давления остается прежним, но направление перемещения и направление распространения изменяются на обратные. Таким образом, напряжения, производимые падающим и отраженным импульсами, складываются на закрепленном конце, и значение результирующего напряжения равно удвоенному значению напряжения при распространении импульса вдоль стержня.

В качестве иллюстрации результатов элементарного подхода рассмотрим движение свободно подвешенного стержня к концу С которого в течение короткого промежутка времени 31 приложена постоянная сила Общее количество движения, сообщаемое стержню, равно если масса стержня равна то центр тяжести должен двигаться с постоянной скоростью V, такой, что В момент снятия силы часть стержня длины находится в состоянии сжатия, а остальная часть находится в состоянии

покоя и недеформирована. Импульс напряжения сохраняет постоянную длину и распространяется вдоль стержня с постоянной скоростью Как видно из уравнения (3.8), скорость частицы, производимая импульсом, равна и масса, движущаяся с этой скоростью, равна так что количество движения попрежнему равно Когда импульс достигает свободного конца А стержня, он отражается как импульс растяжения, распространяющийся в обратном направлении со скоростью Этот импульс растяжения отражается от другого конца стержня как импульс сжатия, и повторяется полный цикл.

Фиг. 11. Кривая перемещение — время для стержня, показывающая разрывное движение при повторных отражениях продольного импульса давления. Кривые относятся к движению: переднего торца стержня, В — средней точки стержня, -противоположного торца стержия и центра тяжести стержия. Для наглядности перемещения сильно увеличены по сравнению с длиной стержня.

Импульс пробегает длину стержня за время на фиг. 11 показано движение при кривые перемещение — время концов стержня, движущихся рывками через интервалы В — такая же кривая для средней точки стержня, которая приходит в движение вдвое чаще, так как импульс проходит через нее дважды при отражении от каждого конца; кривая для центра тяжести стержня, представляющая параболу для промежутка времени Ы, в течение которого приложена постоянная сила после чего она представляет прямую линию.

Необходимость постоянной скорости центра тяжести после того, как сила снята, связана с различием между массой единицы длины в невозмущенной области стержня и на длине содержащей

импульс. Поэтому как движущийся вперед импульс сжатия, так и движущийся в обратном направлении импульс растяжения приводят к движению вперед центра тяжести. Из кривых можно видеть, что для каждого цикла продолжительности средняя точка стержня и его центр тяжести совпадают четыре раза. Два раза это происходит при прохождении через центр стержня, когда область повышенной линейной плотности симметрична относительно центра. Два других соответствуют моментам, когда половина импульса отразилась от концевого сечения. Напряжения, производимые падающей и отраженной половинами импульса, в этот момент в точности погашаются, и плотность становится равномерной по всему стержню.

В действительности длина импульса по мере распространения постепенно возрастает. Это происходит вследствие дисперсии, связанной с радиальным движением стержня, а также с внутренним трением. (Оба эти явления будут рассмотрены позже.) Ступени, показанные на фиг. 11, вследствие дисперсии становятся сглаженными, а длина импульса, в конце концов, возрастает до длины стержня. Задачу после этого можно рассматривать так, как если бы центр тяжести стержня двигался с постоянной скоростью, а стержень совершал в то же время свободные продольные колебания около этого центра. Эти колебания постепенно затухают и остается только поступательное движение вперед, которое рассматривается в динамике твердого тела.