§ 2. Крутильные колебания стержней

При крутильных колебаниях цилиндрического стержня каждое поперечное сечение остается в его плоскости и вращается относительно его центра.

Фиг. 12. Пары сил, действующие на элемент стержия при крутильных колебаниях.

Уравнение движения можно получить, рассматривая силы, действующие на элемент стержня бесконечно малой длины (фиг. 12).

Пусть крутящая пара, действующая в сечении равна С, а противоположно направленная пара, действующая в сечении равна Если средний угол поворота элемента относительно

его центра равен 0, то можно приравнять результирующую пару произведению момента инерции элемента на угловое ускорение; получим

Далее, если две противоположные пары величины С действуют каждая на противоположные концы цилиндра длины х и радиуса то они приводят к относительному повороту концевых сечений на 6, так что

Это соотношение можно получить, рассматривая цилиндр как бы разделенным на ряд бесконечно тонких коаксиальных трубок. Следовательно, если относительный поворот сечений равен 89, то из (3.15) получим в пределе

Момент инерции V элемента цилиндра относительно его оси равен

Подставляя значения из (3.16) и (3.17) в (3.14), получим

Имеем опять волновое уравнение типа (2.19), показывающее, что волны кручения распространяются вдоль цилиндрического стержня со скоростью которая совпадает с определенной в предыдущей главе скоростью распространения волн искажения в безграничной среде.

Позже будет показано, что уравнение (3.18) можно вывести из общих соотношений упругости и, в отличие от уравнения (3.12) для продольных волн, (3.18) дает точное описание распространения крутильных колебаний вдоль круглого цилиндра, когда каждое сечение цилиндра вращается как целое. Импульс крутильных колебаний такого вида распространяется вдоль цилиндрического стержня без дисперсии, если материал стержня совершенно упруг.