§ 5. Распространение волн напряжения в «вязко-упругом» теле

Теория колебаний больцмановского тела, подчиняющегося уравнению (5.38), приводит к чрезвычайно сложной математической задаче, включающей решение интегро-дифференциального уравнения с частными производными. В. Вольтерра [150] в его теории функционалов рассматривал эту задачу, но результаты этой теории нашли пока очень небольшие применения к изучению динамического поведения вязко-упругих материалов.

Более простая задача колебания образцов из фохтовского и максвелловского материалов была рассмотрена ранее в этой главе. Рассмотрим теперь распространение волн напряжения в таких средах. При выводе зависимостей между компонентами напряжения и ускорения в начале гл. II [уравнения (2.7)] не было сделано никаких

предположений относительно зависимости напряжение — деформация для сплошной среды, а потому эти уравнения применимы также к движению вязкоупругого тела. Как упоминалось, соотношения между компонентами напряжения и деформаций для тела Фохта имеют ту же самую форму, что и для упругого тела, если использовать оператор вместо и оператор вместо

Таким образом, при подстановке значений компонент напряжения в первое из уравнений (2.7) получим для тела Фохта следующее уравнение движения в направлениии оси х:

и аналогичные уравнения для компонент Как и для упругого тела, эти соотношения приводят к дифференциальным уравнениям для безвихревого и эквиволюмиального движений. Уравнение для распространения перемещения и в волне расширения имеет вид

а для волны искажения имеем

Аналогичные уравнения получаются для

Если теперь простоты ради рассмотреть плоскую волну искажения, распространяющуюся в направлении х при движении частиц в направлении z, то из (5.47) получим

Это уравнение, вообще говоря, не удовлетворяется функциями типа или Если мы попытаемся искать гармоническое решение так, чтобы представлялось действительной частью от то при подстановке в (5.48) получим

Отсюда следует, что должно быть комплексным; если положить его равным и приравнять действительную и мнимую части в уравнении (5.49), то найдем

и

откуда

Комплексная величина означает, что волна затухает по экспоненциальному закону при распространении в теле, и выражение для можно записать так:

[Из уравнения (5.51) можно видеть, что а может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Однако положительный корень не соответствует физическому содержанию задачи.) Как так и а зависят от частоты, и, когда мало по сравнению с величина а становится пропорциональной квадрату частоты. Заметим, что а здесь то же самое, что и в уравнении (5.22), которое описывает соотношение между затуханием прогрессивных волн и специфическим рассеянием Уравнение (5.22) показывает, что а пропорционально произведению частоты на специфическое рассеяние, так что при малых значениях специфическое рассеяние, а значит, и логарифмический декремент пропорциональны частоте. Это согласуется с уравнением (5.6), полученным для колеблющегося тела Фохта.

Выражение (5.51) для показывает, что при малых значениях Следовательно, фазовая скорость, определяемая как равна т. е. имеет то же значение, что и для упругого тела. Значит, фазовая скорость менее чувствительна к частоте, чем затухание, и начинает изменяться лишь тогда, когда становится сравнимым с Исследование волн расширения аналогично тому, что сделано Для волн искажения, только вместо надо писать вместо

Распространение продольных волн вдоль тонкого стержня из материала, который ведет себя как тело Фохта, описывается уравнением

где - "вязкость при растяжении", определяемая уравнениями (5.29) и (5.30). Это приводит вновь к уравнениям, аналогичным (5.51), с заменой на соответственно.

Хилье рассмотрел распространение продольных синусоидальных волн вдоль вязко-упругой нити и вывел соотношения для тела Максвелла, тела Фохта и тела, поведение которого подобно поведению моделей на фиг. 27. Для максвелловского тела зависимость между напряжением и деформацией (5.23) можно записать в следующей форме

Здесь 1 — время релаксации и, если через обозначить "эквивалентную вязкость" тела, то

Уравнение движения стержня, согласно второму закону Ньютона,

так что, дифференцируя (5.54) по х и подставляя значение из (5.55), получим

Уравнение (5.56) не удовлетворяется функцией типа если не комплексно. Полагая, как прежде, найдем

Когда велико по сравнению с иначе говоря, когда период волны напряжения короток по сравнению с временем релаксации, то и скорость волны равна она такая же, как в упругом стержне с модулем Юнга При этом фактор затухания а принимает значение следовательно, не зависит от частоты. Специфическое рассеяние пропорционально [см. уравнение (5.22)] и, следовательно, обратно пропорционально частоте. Это находится в согласии с уравнением (5.37) для вибрирующего тела Максвелла. Третий тип модели, рассмотренной Хилье, показан на фиг. 27,б, где дополнительная пружина соединена последовательно с моделью Фохта. Зависимость напряжение — деформация для такой модели дается уравнением (5.44):

где напряжение и деформация. Если продифференцировать эту зависимость по х и подставить значение из (5.55), то получим

Полагая равным с, "времени запаздывания" фохтовского элемента, и, как прежде, разыскивая решение в виде

найдем, что уравнение (5.58) удовлетворяется, если определены соотношениями

где представляет совместный модуль двух пружин, соединенных последовательно, так что Если очень велико,

т. е. если дополнительная пружина жесткая, то уравнение (5.59) упрощается и принимает вид уравнения (5.51) для простого тела Фохта. Если, с другой стороны, очень мало, уравнение (5.58) становится идентичным уравнению (5.56) для максвелловского тела.

Скорость с распространения волн вдоль стержня определена как и из уравнений (5.59) видно, что для малых значений она стремится к а при очень больших значениях Значит, при частотах, малых по сравнению с скорость распространения соответствует упругому поведению двух пружин, соединенных последовательно, тогда как при высоких частотах фохтовская пружина оказывается бездействующей и скорость распространения зависит от модуля дополнительной пружины. Демпфирование волны определяется величиной а и возрастает с возрастанием частоты; однако специфическое рассеяние пропорционально и из (5.59) можно видеть, что оно стремится к нулю как при очень малых, так и при очень больших значениях достигая максимума между ними.

На фиг. 28 показаны кривые скорости распространения и специфического рассеяния в функции величины для особого случая Кривые нанесены в безразмерной форме: скорость взята в виде отношения где скорость распространения при "нулевой" частоте, причем а демпфирование выражено через величину и пропорционально специфическому рассеянию в теле. Из фигуры можно видеть, что демпфирование максимально при и что при частотах выше или ниже этого значения оно быстро падает. Можно провести сравнение кривой скорости на фиг. 28 с дисперсионными кривыми, показанными на фиг. 14, для продольных волн в упругом цилиндрическом стержне. Дисперсия в последнем вызвана чисто геометрическими факторами, здесь же она обусловлена вязко-упругими свойствами тела. Интересно отметить, что тенденции дисперсии противоположны в этих двух случаях: высокочастотные волны распространяются быстрее низкочастотных в вязко-упругом теле, тогда как в упругом цилиндре, диаметр которого сравним с длиной волны, имеет место обратное. Интересно было бы исследовать распространение волн в вязко-упругом цилиндре, диаметр которого сравним с длиной волны, поскольку здесь имеют место два противоположных эффекта.

Следует еще раз подчеркнуть, что очень немногие тела хотя бы приближенно ведут себя подобно модели Максвелла или Фохта и что только с помощью спектра времен релаксации может быть достаточно точно определено динамическое поведение тела. Единственным доводом для использования простейших моделей с одним временем релаксации является то, что в противном случае математический анализ становится чрезвычайно запутанным. Однако когда механическое поведение вязко-упругого тела надо знать только в ограниченной области частот, "упругость" и "вязкость",

полученные с помощью простейшего максвелловского или фохтовского элемента, часто оказываются удобным методом описания механических свойств при предписанных условиях.

Функция памяти и связанный с ней спектр времен релаксации описывают механическое поведение тела постольку, поскольку тело представляет линейную систему, т. е. поскольку имеется линейная зависимость между напряжением и деформацией при фиксированном времени; если же такой зависимости в материале нет, то сделанные выше построения неверны.

Фиг. 28. Изменение частоты скорости распространения и потерь на демпфирование для тела, которое ведет себя подобно модели фиг. 27,б при

Существование линейной системы предполагается и при применении принципа суперпозиции. Для большинства тел существует значение деформации, до которого, хотя бы приближенно, это предположение оправдано. Теория распространения напряжения в нелинейных системах еще не развита за исключением одного или двух довольно специальных случаев. Они будут рассмотрены в гл. VII, где изучается распространение пластических и ударных волн.