Глава II. РАСПРОСТРАНЕНИЕ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ УПРУГОЙ СРЕДЕ

В этой главе выведены уравнения движения изотропной упругой среды в перемещениях частиц и показано, что эти уравнения движения описывают два типа волн, которые могут распространяться в неограниченном упругом теле. Эти два типа волн названы волнами расширения и волнами искажения. Движение частицы в плоской волне расширения происходит в направлении распространения, тогда как в плоской волне искажения оно происходит в направлении, перпендикулярном направлению распространения.

В неограниченных телах могут распространяться только такие волны. Если же тело имеет свободную поверхность или если имеется поверхность раздела двух тел, то могут распространяться еще и поверхностные волны Релея.

В главе рассмотрено также отражение и преломление упругих волн на плоских границах и дано краткое описание распространения упругих волн в кристаллической среде

§ 1. Компоненты напряжения и деформации

Напряжение на элементе поверхности внутри твердого тела действует, вообще говоря, не по нормали к этой поверхности и имеет составляющие как по нормали к площадке, так и по касательной к ней. Если отнести тело к трем взаимно перпендикулярным осям и рассмотреть напряжения, действующие на три плоскости, перпендикулярные к этим осям и проходящие через рассматриваемую точку то получим девять компонент напряжения. Обозначим их первая буква в индексе означает направление напряжения, а вторая — плоскость, на которую оно действует. Рассматривая бесконечно малый прямоугольный параллелепипед, содержащий точку с гранями, перпендикулярными

к осям (фиг. 1), и подсчитывая моменты, можно убедиться, что для равновесия необходимо, чтобы удовлетворялись равенства

Следовательно, независимыми остаются только шесть компонент напряжения. Через эти шесть компонент можно выразить напряжение, действующее на любой другой элемент поверхности, проходящей через точку т. е. они полностью определяют напряжение в точке.

Фиг. 1. Компоненты напряжений, действующих на бесконечно малый прямоугольный параллелепипед.

Перемещение любой точки тела можно разложить по осям х, у, z на компоненты так что если координаты точки в исходном состоянии суть (х, то при деформации они принимают значения Чтобы определить деформацию в любой точке, надо рассмотреть изменение положения этой точки относительно соседних. Рассмотрим точку, очень близкую к которая в недеформированном состоянии имела координаты пусть перемещение ее имеет компоненты Тогда, если достаточно малы,

получим

Следовательно, если значения девяти величин

в данной точке известны, то относительные перемещения всех окружающих точек могут быть найдены.

Фиг. 2. Сдвиг и поворот в двух измерениях.

Для удобства эти девять величин группируются и обозначаются следующим образом:

Первые шесть величин в уравнениях (2.1) называются компонентами деформации. Три из них, а именно представляют собой относительные удлинения малых линейных элементов,

проходящих через точку параллельно осям соответственно. Три других, являются компонентами деформации сдвига в плоскостях, соответствующих индексам.

Значение этих величин для двумерной деформации в плоскости показано на фиг. 2. На ней бесконечно малый квадрат, который перемещается и деформируется в ромб и — углы, образованные отрезками и с осями соответственно. Далее, для достаточно малой деформации углы можно считать равными их тангенсам, так что что и является определением деформации сдвига. Величины не относятся к деформации окрестности точки и представляют собой компоненты вращения ее как твердого тела, так что если перемещение представляется вектором то эти величины суть составляющие по осям. Можно видеть на фиг. 2, что величина не связана с деформацией и равна удвоенному углу поворота диагонали В случае когда компоненты вращения равны нулю, деформация является безвихревой и называется чистой деформацией.