§ 9. Сводка результатов теории упругих волн, изложенной в гл. II и III

Уравнения движения изотропного упругого тела в перемещениях частиц в направлениях х, у, z соответственно записываются в виде

здесь плотность тела, объемное расширение, равное — константы Ляме: равно модулю сдвига, X равно где модуль всестороннего сжатия; - оператор Лапласа, т. е.

Решение уравнений (2.8), (2.9) и (2.10) для безграничной среды соответствует двум типам волн: волнам расширения, распространяющимся со скоростью и волнам искажения со скоростью Движение частиц в первой волне продольно, т. е. происходит в направлении распространения, а во второй поперечно, т. е. перпендикулярно направлению распространения.

Если имеется свободная поверхность, могут распространяться также поверхностные волны Релея. Они распространяются со скоростью, составляющей часть от скорости волн искажения; значение получается из (кубического относительно уравнения:

упругая постоянная материала, равная

где пуассоново отношение. Движение частиц в волнах Релея происходит в плоскости, перпендикулярной к поверхности, вдоль которой распространяются волны, и параллельной направлению распространения. Для синусоидальных волн Релея траектория каждой частицы есть эллипс.

Когда волна расширения падает на свободную поверхность, то при ее отражении возникают две волны, одна из которых — волна расширения, угол отражения которой равен углу падения а другая — волна искажения, угол отражения которой равен (3; причем Аналогично, если на свободную границу под углом

падает волна искажения, то отражаются, вообще говоря, две волны: волна искажения и волна расширения. Волна искажения отражается под углом (3, а волна расширения под углом а, определяемым из закона синусов. Волна, падающая на границу раздела двух сред, порождает в общем случае четыре волны: в каждой среде будет распространяться волна расширения и волна искажения. Соотношения между амплитудами падающей, отраженных и преломленных волн даны уравнениями (2.41)-(2.58) гл. II.

В гл. III рассмотрены типы волн, которые могут распространяться в стержнях: это — продольные, крутильные и изгибные волны. Если длина волны велика по сравнению с поперечными размерами стержня, продольные и крутильные волны распространяются с постоянными скоростями. Скорость распространения продольных волн равна где модуль продольной упругости, а скорость крутильных волн в стержне круглого поперечного сечения равна -Скорость распространения изгибных волн зависит от длины волны и для очень коротких волн равна где длина волны, и К— радиус инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси стержня.

Скорость продольных волн зависит от длины волны; когда последняя становится сравнимой с поперечными размерами стержня, волны малой длины распространяются со скоростью поверхностных волн Релея (фиг. 14 и 15). Скорость крутильных волн не зависит от длины волны, если стержень совершает колебания основной формы, т. е. если каждое сечение вращается как целое около его центра. Практически определено, что возбуждается только эта основная форма. Скорость изгибных волн также стремится к скорости поверхностных волн Релея, когда длина волны становится малой по сравнению с поперечными размерами стержня (фиг. 16 и 17). Скорость распространения продольных волн в пластинках равна

когда длина волны велика по сравнению с толщиной пластинки. Для малых длин волн скорость их распространения равна скорости поверхностных волн Релея (фиг. 20).